Chào em, rất vui được hướng dẫn em giải bài toán chứng minh chia hết này nhé! Đây là một bài tập rất hay để vận dụng Định lý Fermat nhỏ.

Bài toán: Chứng minh rằng biểu thức \(ab(a^2-b^2)(b^2+a^2)\) chia hết cho 30 với mọi số nguyên \(a, b\).

Đầu tiên, chúng ta hãy đơn giản hóa biểu thức đã cho. Ta có:

\(E = ab(a^2-b^2)(b^2+a^2)\)
Sử dụng hằng đẳng thức \((X-Y)(X+Y) = X^2-Y^2\), ở đây \(X = a^2\) và \(Y = b^2\):
\(E = ab((a^2)^2 – (b^2)^2)\)
\(E = ab(a^4 – b^4)\)
Nhân \(ab\) vào trong ngoặc:
\(E = a^5b – ab^5\)

Để chứng minh \(E\) chia hết cho 30, chúng ta cần chứng minh \(E\) chia hết cho các thừa số nguyên tố của 30, đó là 2, 3 và 5. Vì 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một, nếu \(E\) chia hết cho cả ba số này, thì \(E\) sẽ chia hết cho tích của chúng là \(2 \times 3 \times 5 = 30\).

Chúng ta sẽ sử dụng Định lý Fermat nhỏ (Fermat’s Little Theorem) cho từng trường hợp:

Nội dung Định lý Fermat nhỏ: Cho \(p\) là một số nguyên tố và \(x\) là một số nguyên bất kỳ. Khi đó, ta có \(x^p \equiv x \pmod{p}\) (tức là \(x^p – x\) chia hết cho \(p\)).

1. Chứng minh \(E\) chia hết cho 2

Theo Định lý Fermat nhỏ với \(p=2\), ta có \(x^2 \equiv x \pmod{2}\) với mọi số nguyên \(x\).

Từ đó, ta có thể suy ra \(x^5 \equiv x \pmod{2}\) như sau:
\(x^5 = x^2 \cdot x^2 \cdot x\)
Vì \(x^2 \equiv x \pmod{2}\), nên ta có:
\(x^5 \equiv x \cdot x \cdot x \pmod{2}\)
\(x^5 \equiv x^3 \pmod{2}\)
Lại có \(x^3 = x^2 \cdot x \equiv x \cdot x = x^2 \pmod{2}\)
Và \(x^2 \equiv x \pmod{2}\).
Vậy, \(x^5 \equiv x \pmod{2}\).

Áp dụng vào biểu thức \(E\), ta có:

• \(a^5 \equiv a \pmod{2}\)
• \(b^5 \equiv b \pmod{2}\)

Thay vào biểu thức \(E = a^5b – ab^5\):
\(E \equiv ab – ab \pmod{2}\)
\(E \equiv 0 \pmod{2}\).

Điều này chứng tỏ \(E\) chia hết cho 2.

2. Chứng minh \(E\) chia hết cho 3

Theo Định lý Fermat nhỏ với \(p=3\), ta có \(x^3 \equiv x \pmod{3}\) với mọi số nguyên \(x\).

Từ đó, ta có thể suy ra \(x^5 \equiv x \pmod{3}\) như sau:
\(x^5 = x^3 \cdot x^2\)
Vì \(x^3 \equiv x \pmod{3}\), nên ta có:
\(x^5 \equiv x \cdot x^2 \pmod{3}\)
\(x^5 \equiv x^3 \pmod{3}\)
Lại có \(x^3 \equiv x \pmod{3}\).
Vậy, \(x^5 \equiv x \pmod{3}\).

Áp dụng vào biểu thức \(E\), ta có:

• \(a^5 \equiv a \pmod{3}\)
• \(b^5 \equiv b \pmod{3}\)

Thay vào biểu thức \(E = a^5b – ab^5\):
\(E \equiv ab – ab \pmod{3}\)
\(E \equiv 0 \pmod{3}\).

Điều này chứng tỏ \(E\) chia hết cho 3.

3. Chứng minh \(E\) chia hết cho 5

Theo Định lý Fermat nhỏ với \(p=5\), ta có \(x^5 \equiv x \pmod{5}\) với mọi số nguyên \(x\).

Áp dụng trực tiếp vào biểu thức \(E\), ta có:

• \(a^5 \equiv a \pmod{5}\)
• \(b^5 \equiv b \pmod{5}\)

Thay vào biểu thức \(E = a^5b – ab^5\):
\(E \equiv ab – ab \pmod{5}\)
\(E \equiv 0 \pmod{5}\).

Điều này chứng tỏ \(E\) chia hết cho 5.

Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức \(E = ab(a^2-b^2)(b^2+a^2)\) chia hết cho 2, chia hết cho 3 và chia hết cho 5. Vì 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một, nên \(E\) phải chia hết cho tích của chúng.

\(2 \times 3 \times 5 = 30\)

Vậy, \(E = ab(a^2-b^2)(b^2+a^2)\) luôn chia hết cho 30 với mọi số nguyên \(a, b\).

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.