Đề bài: Chứng minh rằng các số \( A = 6^{2015} + 1 \) và \( B = 6^{2016} – 1 \) đều là bội của 7.

Trước khi đi vào giải bài, các em hãy nhớ lại kiến thức về “bội của 7” nhé. Một số được gọi là bội của 7 nếu số đó chia hết cho 7, hay nói cách khác là số dư khi chia cho 7 bằng 0. Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng công cụ “đồng dư thức”, một khái niệm rất hữu ích trong số học.

Bài giải:

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A \equiv 0 \pmod{7} \) và \( B \equiv 0 \pmod{7} \).

Bước 1: Nhận xét cơ bản

Chúng ta thấy rằng số 6 có mối liên hệ đặc biệt với số 7.

Cụ thể, \( 6 = 7 – 1 \), do đó ta có:

\( 6 \equiv -1 \pmod{7} \)

Phần 1: Chứng minh A là bội của 7

Ta có biểu thức của A là \( A = 6^{2015} + 1 \).

Với nhận xét ở trên, ta thay \( 6 \) bằng \( -1 \) trong phép đồng dư:

\( A = 6^{2015} + 1 \equiv (-1)^{2015} + 1 \pmod{7} \)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét lũy thừa của \( -1 \). Số mũ \( 2015 \) là một số lẻ.

Vì \( 2015 \) là số lẻ, nên \( (-1)^{2015} = -1 \).

Vậy, ta có:

\( A \equiv -1 + 1 \pmod{7} \)

\( A \equiv 0 \pmod{7} \)

Điều này có nghĩa là \( A \) chia hết cho 7. Hay nói cách khác, \( A \) là bội của 7.

Phần 2: Chứng minh B là bội của 7

Ta có biểu thức của B là \( B = 6^{2016} – 1 \).

Tương tự như trên, ta thay \( 6 \) bằng \( -1 \) trong phép đồng dư:

\( B = 6^{2016} – 1 \equiv (-1)^{2016} – 1 \pmod{7} \)

Bây giờ, chúng ta xem xét lũy thừa của \( -1 \). Số mũ \( 2016 \) là một số chẵn.

Vì \( 2016 \) là số chẵn, nên \( (-1)^{2016} = 1 \).

Vậy, ta có:

\( B \equiv 1 – 1 \pmod{7} \)

\( B \equiv 0 \pmod{7} \)

Điều này có nghĩa là \( B \) chia hết cho 7. Hay nói cách khác, \( B \) là bội của 7.

Kết luận:

Qua các bước chứng minh trên, chúng ta thấy rằng cả \( A = 6^{2015} + 1 \) và \( B = 6^{2016} – 1 \) đều có số dư bằng 0 khi chia cho 7.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng các số \( A = 6^{2015} + 1 \) và \( B = 6^{2016} – 1 \) đều là bội của 7.

Các em thấy không, việc sử dụng đồng dư thức giúp bài toán trở nên gọn gàng và dễ hiểu hơn rất nhiều!

Chúc các em học tốt!