Có 100 người đứng thành một vòng tròn. Người số 1 loại người số 2…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một câu đố toán vui rất thú vị về tư duy logic và quy luật. Đây là một bài toán nâng cao thường gặp trong các chương trình phát triển tư duy cho học sinh tiểu học.

Để tìm ra người chiến thắng cuối cùng trong vòng tròn 100 người, chúng ta không cần phải đếm thủ công từng người một cách mệt mỏi, mà sẽ cùng nhau quan sát quy luật qua các bước nhỏ hơn nhé.

Bước 1: Thử nghiệm với số lượng người nhỏ hơn để tìm quy luật

Hãy tưởng tượng lớp chúng ta chỉ có một vài bạn đứng thành vòng tròn:

• Trường hợp 2 người (số 1 và số 2): Người số 1 loại người số 2. Người còn lại là số 1.
• Trường hợp 4 người (số 1, 2, 3, 4): Người 1 loại người 2, người 3 loại người 4. Hết một vòng, còn lại người 1 và người 3. Tiếp tục, người 1 loại người 3. Người còn lại là số 1.
• Trường hợp 8 người (từ số 1 đến số 8): Sau vòng đầu tiên loại các số chẵn (2, 4, 6, 8), vòng tròn chỉ còn lại các số lẻ (1, 3, 5, 7). Khi tiếp tục loại theo quy luật, người cuối cùng vẫn là số 1.

Bước 2: Phát hiện quy luật chung

Từ các thử nghiệm trên, các em có nhận ra điều gì đặc biệt không?
Khi tổng số người là một lũy thừa của số 2 (ví dụ như 2, 4, 8, 16, 32, 64…), người đứng ở vị trí số 1 luôn luôn là người chiến thắng cuối cùng. Sau mỗi vòng loại, những người ở vị trí số lẻ lại được giữ lại và quá trình cứ lặp lại như vậy.

Bước 3: Áp dụng vào bài toán 100 người

Bây giờ, chúng ta quay lại với bài toán 100 người của chúng ta:

• Số 100 không phải là lũy thừa của 2. Lũy thừa của 2 lớn nhất nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 100 chính là số 64 (vì 2 nhân 2 nhân 2 nhân 2 nhân 2 nhân 2 bằng 64).
• Chúng ta sẽ chia 100 người thành hai nhóm: 64 người đầu và 36 người còn lại.
• Khi trò chơi bắt đầu, qua một số vòng loại, nhóm 64 người (là lũy thừa của 2) sẽ chiến đấu với nhau theo đúng quy luật mà thầy/cô vừa phân tích ở Bước 2, và người vừa vặn loại hết những người khác trong nhóm này để bước sang một giai đoạn mới chính là người có cơ hội đi tiếp.
• Chính xác hơn, khi số người giảm từ 100 xuống còn đúng 64 người, người chiến thắng lúc đó sẽ là người mang số thứ tự đánh dấu sự khởi đầu của chu kỳ lũy thừa 2, kết hợp với phần dư số người bị loại ở vòng đầu.
• Tính toán nhanh theo thuật toán Josephus nổi tiếng cho bài toán này: Ta lấy tổng số người là 100 trừ đi số lũy thừa của 2 lớn nhất nhỏ hơn nó là 64. Ta có hiệu là 36. Sau đó, lấy 36 nhân với 2 rồi cộng thêm 1. Kết quả là: (36 nhân 2) cộng 1 bằng 73.

Kết luận:

Vậy người cuối cùng còn lại chính là người số 73.

Bài học rút ra qua câu đố này là trong toán học và đời sống, nếu chúng ta biết cách quan sát từ các bài toán nhỏ, tìm ra quy luật ẩn sau những con số lớn, thì mọi thử thách đều có thể vượt qua một cách dễ dàng. Chúc các em luôn học tốt và giữ vững tình yêu với môn Toán!