Chào các em học sinh lớp 11!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến điều kiện xác định của hàm số chứa căn và tham số. Đây là dạng bài khá phổ biến và quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về hàm số và bất phương trình.

Đề bài: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \([-10, 10]\) để hàm số \(y = \sqrt{\sin^2x – 2\sin x + m – 1}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Chúng ta cùng phân tích và giải chi tiết nhé!

Bài giải:

Để hàm số \(y = \sqrt{\sin^2x – 2\sin x + m – 1}\) xác định trên \(\mathbb{R}\), biểu thức dưới dấu căn phải luôn không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Tức là, ta phải có:

\(\sin^2x – 2\sin x + m – 1 \ge 0\) \, (1) \, với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.

Nhận thấy biểu thức (1) chứa \(\sin x\), ta sẽ đặt ẩn phụ:

Đặt \(t = \sin x\).

Vì \(x \in \mathbb{R}\) nên giá trị của \(\sin x\) luôn nằm trong đoạn \([-1, 1]\). Do đó, điều kiện của \(t\) là \(t \in [-1, 1]\).

Khi đó, bất phương trình (1) trở thành:

\(t^2 – 2t + m – 1 \ge 0\) \, (2) \, với mọi \(t \in [-1, 1]\).

Bước 2: Phân tích hàm số bậc hai.

Ta xét hàm số \(f(t) = t^2 – 2t + m – 1\).

Đây là một hàm số bậc hai với biến \(t\), có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên trên (vì hệ số của \(t^2\) là \(1 > 0\)).

Để \(f(t) \ge 0\) với mọi \(t \in [-1, 1]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1, 1]\) phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Tọa độ đỉnh của parabol là \(t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\).

Ta thấy rằng đỉnh của parabol nằm tại \(t = 1\), mà \(t=1\) lại thuộc vào đoạn \([-1, 1]\) mà chúng ta đang xét.

Vì parabol có bề lõm quay lên trên và đỉnh nằm trong đoạn \([-1, 1]\), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1, 1]\) chính là giá trị của hàm số tại đỉnh, tức là \(f(1)\).

Bước 3: Tìm điều kiện cho tham số \(m\).

Ta cần có \(f(1) \ge 0\).

Tính \(f(1)\):

\(f(1) = (1)^2 – 2(1) + m – 1\)

\(f(1) = 1 – 2 + m – 1\)

\(f(1) = m – 2\)

Để \(f(t) \ge 0\) với mọi \(t \in [-1, 1]\), ta phải có:

\(m – 2 \ge 0\)

\(\Leftrightarrow m \ge 2\)

Bước 4: Kết hợp điều kiện của \(m\).

Theo đề bài, \(m\) là số nguyên và thuộc đoạn \([-10, 10]\).

Vậy ta cần tìm các số nguyên \(m\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. \(m \ge 2\)

2. \(-10 \le m \le 10\)

Kết hợp hai điều kiện trên, ta được:

\(2 \le m \le 10\)

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là: \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\).

Bước 5: Đếm số lượng giá trị nguyên của \(m\).

Số các giá trị nguyên của \(m\) là: \(10 – 2 + 1 = 9\) (giá trị).

Kết luận:

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \([-10, 10]\) để hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Hy vọng phần trình bày này giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán này nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!

Chúc các em học tốt!