Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Đề bài: Có hai quả cầu bằng chì giống hệt nhau, có động năng lần lượt là 100 J và 400 J, chuyển động cùng phương ngang ngược chiều đến va chạm mềm trực diện với nhau. Cho rằng, toàn bộ phần cơ năng bị giảm chuyển thành nội năng của hai quả cầu. Độ tăng nội năng của hệ hai quả cầu là bao nhiêu J?

—

Phân tích đề bài và Kế hoạch giải quyết:

1. “Hai quả cầu bằng chì giống hệt nhau”: Điều này có nghĩa là chúng có cùng khối lượng. Gọi khối lượng mỗi quả cầu là \(m\).

2. “Động năng lần lượt là 100 J và 400 J”: Ta có \(K_1 = 100 \text{ J}\) và \(K_2 = 400 \text{ J}\).

3. “Chuyển động cùng phương ngang ngược chiều”: Khi tính toán động lượng, chúng ta cần chọn chiều dương. Nếu một vật có vận tốc dương thì vật kia sẽ có vận tốc âm.

4. “Va chạm mềm trực diện với nhau”: Va chạm mềm là va chạm mà sau va chạm hai vật dính vào nhau và chuyển động cùng một vận tốc. Đây là va chạm không bảo toàn động năng.

5. “Toàn bộ phần cơ năng bị giảm chuyển thành nội năng”: Điều này cho biết độ tăng nội năng (\(\Delta U\)) chính là độ giảm động năng của hệ: \(\Delta U = K_{trước} – K_{sau}\), trong đó \(K_{trước}\) là tổng động năng của hệ trước va chạm và \(K_{sau}\) là động năng của hệ sau va chạm.

Kế hoạch:
    a. Tính vận tốc của mỗi quả cầu trước va chạm theo khối lượng \(m\).
    b. Áp dụng Định luật Bảo toàn Động lượng để tìm vận tốc của hệ sau va chạm.
    c. Tính tổng động năng của hệ trước va chạm.
    d. Tính động năng của hệ sau va chạm.
    e. Tính độ tăng nội năng (\(\Delta U\)).

—

Bài giải chi tiết:

Gọi khối lượng của mỗi quả cầu là \(m\).
Vận tốc của quả cầu thứ nhất trước va chạm là \(v_1\).
Vận tốc của quả cầu thứ hai trước va chạm là \(v_2\).
Vận tốc của hệ sau va chạm là \(V\).

Bước 1: Tính vận tốc của mỗi quả cầu trước va chạm.

Động năng của quả cầu thứ nhất là \(K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2\).
Từ đó suy ra \(v_1^2 = \frac{2K_1}{m} \Rightarrow v_1 = \sqrt{\frac{2K_1}{m}}\).
Thay số: \(v_1 = \sqrt{\frac{2 \times 100}{m}} = \sqrt{\frac{200}{m}}\).

Động năng của quả cầu thứ hai là \(K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2\).
Từ đó suy ra \(v_2^2 = \frac{2K_2}{m} \Rightarrow v_2 = \sqrt{\frac{2K_2}{m}}\).
Thay số: \(v_2 = \sqrt{\frac{2 \times 400}{m}} = \sqrt{\frac{800}{m}}\).

Vì hai quả cầu chuyển động ngược chiều, ta chọn chiều dương là chiều chuyển động của quả cầu 1. Khi đó:
\(v_1 = \sqrt{\frac{200}{m}}\)
\(v_2 = -\sqrt{\frac{800}{m}}\)

Bước 2: Áp dụng Định luật Bảo toàn Động lượng.

Tổng động lượng của hệ trước va chạm là: \(P_{trước} = mv_1 + mv_2\).
Sau va chạm mềm, hai quả cầu dính vào nhau và chuyển động với vận tốc chung \(V\). Tổng khối lượng của hệ là \(m + m = 2m\).
Tổng động lượng của hệ sau va chạm là: \(P_{sau} = (m+m)V = 2mV\).

Theo Định luật Bảo toàn Động lượng, \(P_{trước} = P_{sau}\):
\(mv_1 + mv_2 = 2mV\)
\(m(v_1 + v_2) = 2mV\)
\(V = \frac{v_1 + v_2}{2}\)

Thay các giá trị \(v_1\) và \(v_2\) đã tìm được:
\(V = \frac{\sqrt{\frac{200}{m}} – \sqrt{\frac{800}{m}}}{2}\)
Ta nhận thấy \(\sqrt{800} = \sqrt{4 \times 200} = 2\sqrt{200}\).
Nên, \(V = \frac{\sqrt{\frac{200}{m}} – 2\sqrt{\frac{200}{m}}}{2}\)
\(V = \frac{-\sqrt{\frac{200}{m}}}{2} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{200}{m}}\)

Bước 3: Tính tổng động năng của hệ trước va chạm.

\(K_{trước} = K_1 + K_2\)
\(K_{trước} = 100 \text{ J} + 400 \text{ J} = 500 \text{ J}\)

Bước 4: Tính động năng của hệ sau va chạm.

Động năng của hệ sau va chạm là của vật có khối lượng \(2m\) chuyển động với vận tốc \(V\):
\(K_{sau} = \frac{1}{2}(2m)V^2 = mV^2\)

Thay giá trị của \(V\) vào:
\(K_{sau} = m \left( -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{200}{m}} \right)^2\)
\(K_{sau} = m \left( \frac{1}{4} \times \frac{200}{m} \right)\)
\(K_{sau} = m \left( \frac{50}{m} \right)\)
\(K_{sau} = 50 \text{ J}\)

Bước 5: Tính độ tăng nội năng của hệ.

Độ tăng nội năng của hệ chính là phần cơ năng bị giảm đi (động năng bị mất mát) trong va chạm mềm:
\(\Delta U = K_{trước} – K_{sau}\)
\(\Delta U = 500 \text{ J} – 50 \text{ J}\)
\(\Delta U = 450 \text{ J}\)

—

Kết luận:

Độ tăng nội năng của hệ hai quả cầu là 450 J.

Các em thấy không, mặc dù khối lượng \(m\) không được cho trước, nhưng nó đã tự động triệt tiêu trong quá trình tính toán, cho thấy lời giải là hợp lý và kết quả không phụ thuộc vào khối lượng cụ thể của quả cầu. Điều quan trọng là chúng có cùng khối lượng và các định luật bảo toàn được áp dụng đúng đắn.

Chúc các em học tốt!