Đề bài: Con lắc đơn dao động điều hòa có khối lượng \(m = 0,1 \, \text{kg}\); gia tốc trọng trường \(g = 10 \, \text{m/s}^2\); biên độ góc ban đầu là \( \alpha_0 = 5^\circ\). Chu kì dao động là \(T = 2 \, \text{s}\). Trong quá trình dao động, con lắc chịu tác dụng của lực cản nên sau 4 dao động thì biên độ góc còn lại là \( \alpha_4 = 4^\circ\). Người ta duy trì dao động cho con lắc bằng cách dùng hệ thống lên dây cót sao cho nó chạy được trong 1 tuần với biên độ góc bằng \( \alpha_0 = 5^\circ\). Tính công cần thiết để lên dây cót, biết 80% năng lượng dùng để thắng lực ma sát do hệ thống bánh răng gây ra.

Phân tích bài toán:

Bài toán này yêu cầu chúng ta tính công cần thiết để duy trì dao động của con lắc đơn. Để làm được điều đó, chúng ta cần hiểu rõ:

1. Năng lượng của con lắc đơn khi dao động điều hòa.
2. Sự suy giảm năng lượng do lực cản trong mỗi chu kì.
3. Năng lượng cần cung cấp để bù đắp cho phần năng lượng bị mất đi do lực cản.
4. Mối liên hệ giữa năng lượng cung cấp và công lên dây cót, xét đến hiệu suất.

Giải bài toán chi tiết:

Bước 1: Tính năng lượng ban đầu của con lắc.

Ở vị trí biên, con lắc có cơ năng toàn phần bằng thế năng cực đại.

Thế năng của con lắc đơn được tính bằng công thức:

\( W_t = mgh \)

Trong đó \(h\) là độ cao của vật so với vị trí cân bằng.

Với con lắc đơn, độ cao \(h\) có thể được biểu diễn qua biên độ góc \( \alpha_0 \) (ở đây là \( \alpha_0 \)) và chiều dài sợi dây \(l\) là:

\( h = l(1 – \cos \alpha_0) \)

Từ chu kì của con lắc đơn \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \), ta có thể tìm được chiều dài sợi dây \(l\):

\( T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \)
\( l = \frac{gT^2}{4\pi^2} \)

Với \(g = 10 \, \text{m/s}^2\) và \(T = 2 \, \text{s}\), ta có:

\( l = \frac{10 \times 2^2}{4\pi^2} = \frac{40}{4\pi^2} = \frac{10}{\pi^2} \, \text{m} \)

Bây giờ, ta cần đổi biên độ góc \( \alpha_0 = 5^\circ \) sang radian để tính toán:

\( \alpha_0 (\text{rad}) = 5^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{36} \, \text{rad} \)

Khi biên độ góc nhỏ, ta có thể dùng công thức gần đúng \( 1 – \cos \alpha_0 \approx \frac{\alpha_0^2}{2} \) (với \( \alpha_0 \) tính bằng radian).

Vậy, độ cao ban đầu tại biên là:

\( h_0 = l(1 – \cos \alpha_0) \approx l \frac{\alpha_0^2}{2} \)
\( h_0 \approx \frac{10}{\pi^2} \times \frac{(\pi/36)^2}{2} = \frac{10}{\pi^2} \times \frac{\pi^2}{36^2 \times 2} = \frac{10}{1296 \times 2} = \frac{10}{2592} \, \text{m} \)

Cơ năng ban đầu của con lắc là:

\( W_0 = mgh_0 \)
\( W_0 = 0,1 \times 10 \times \frac{10}{2592} = \frac{10}{2592} \, \text{J} \)

Nếu dùng công thức \( W = \frac{1}{2}ml^2\omega^2\alpha_0^2 \) với \( \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \), ta có \( \omega^2 = \frac{g}{l} \).

\( W_0 = \frac{1}{2}ml^2 \frac{g}{l} \alpha_0^2 = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 \) (với \( \alpha_0 \) tính bằng radian).

Thay số vào:

\( W_0 = \frac{1}{2} \times 0,1 \times 10 \times \frac{10}{\pi^2} \times \left(\frac{\pi}{36}\right)^2 = 0,5 \times \frac{10}{\pi^2} \times \frac{\pi^2}{1296} = \frac{5}{1296} \, \text{J} \)

Giá trị \( \frac{10}{2592} \) cũng xấp xỉ bằng \( \frac{5}{1296} \). Chúng ta sẽ dùng giá trị \( W_0 = \frac{5}{1296} \, \text{J} \).

Bước 2: Tính năng lượng mất đi sau 4 dao động.

Sau 4 dao động, biên độ góc giảm từ \( \alpha_0 = 5^\circ \) xuống \( \alpha_4 = 4^\circ \).

Biên độ góc sau 4 dao động tính bằng radian:

\( \alpha_4 (\text{rad}) = 4^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{45} \, \text{rad} \)

Năng lượng của con lắc khi biên độ góc là \( \alpha_4 \) là:

\( W_4 = \frac{1}{2}mgl\alpha_4^2 \)
\( W_4 = \frac{1}{2} \times 0,1 \times 10 \times \frac{10}{\pi^2} \times \left(\frac{\pi}{45}\right)^2 = 0,5 \times \frac{10}{\pi^2} \times \frac{\pi^2}{45^2} = \frac{5}{2025} \, \text{J} \)

Năng lượng bị mất đi sau 4 dao động là:

\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = W_0 – W_4 \)
\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{5}{1296} – \frac{5}{2025} \)

Để trừ hai phân số, ta quy đồng mẫu số:

\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = 5 \left( \frac{1}{1296} – \frac{1}{2025} \right) = 5 \left( \frac{2025 – 1296}{1296 \times 2025} \right) \)
\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = 5 \left( \frac{729}{2624400} \right) = \frac{3645}{2624400} \, \text{J} \)

Ta có thể rút gọn phân số này. Chia cả tử và mẫu cho 5:

\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{729}{524880} \, \text{J} \)

Chia tiếp cho 9:

\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{81}{58320} \, \text{J} \)

Chia tiếp cho 9:

\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{9}{6480} \, \text{J} \)

Chia tiếp cho 9:

\( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{1}{720} \, \text{J} \)

Vậy, năng lượng bị mất đi sau 4 dao động là \( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{1}{720} \, \text{J} \).

Bước 3: Tính năng lượng bị mất đi trong mỗi chu kì.

Do biên độ góc giảm dần, năng lượng mất đi trong mỗi chu kì cũng thay đổi. Tuy nhiên, bài toán cho biết “sau 4 dao động thì biên độ góc còn lại là 4°”. Điều này cho phép ta giả định rằng năng lượng mất đi trong 4 chu kì đầu tiên là một giá trị trung bình hoặc có thể tính toán dựa trên sự suy giảm tuyến tính của biên độ góc theo số chu kì.

Một cách tiếp cận khác là xem xét sự suy giảm năng lượng trong mỗi chu kì. Đối với dao động tắt dần, năng lượng giảm tỉ lệ với bình phương biên độ.

Ta có thể ước tính năng lượng mất đi trong 4 chu kì đầu bằng cách lấy trung bình năng lượng mất đi mỗi chu kì.

Năng lượng mất đi trong 4 chu kì đầu là \( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = \frac{1}{720} \, \text{J} \).

Vậy, năng lượng mất đi trung bình trong 1 chu kì là:

\( \Delta W_{1 \text{ chu kì}} = \frac{\Delta W_{4 \text{ dao động}}}{4} = \frac{1/720}{4} = \frac{1}{2880} \, \text{J} \)

Bước 4: Tính năng lượng cần cung cấp trong 1 tuần.

Một tuần có 7 ngày. Số chu kì trong 1 tuần là:

\( N_{tuần} = \frac{\text{Số giờ trong 1 tuần}}{\text{Chu kì}} = \frac{7 \, \text{ngày} \times 24 \, \text{giờ/ngày}}{2 \, \text{s/chu kì}} \)

Đổi 1 tuần ra giây:

\( 1 \, \text{tuần} = 7 \, \text{ngày} \times 24 \, \text{giờ/ngày} \times 60 \, \text{phút/giờ} \times 60 \, \text{giây/phút} = 7 \times 24 \times 3600 = 604800 \, \text{s} \)

Số chu kì trong 1 tuần là:

\( N_{tuần} = \frac{604800 \, \text{s}}{2 \, \text{s/chu kì}} = 302400 \, \text{chu kì} \)

Tổng năng lượng cần cung cấp để bù đắp cho lực cản trong 1 tuần là:

\( W_{cần \, cung \, cấp} = N_{tuần} \times \Delta W_{1 \text{ chu kì}} \)
\( W_{cần \, cung \, cấp} = 302400 \times \frac{1}{2880} \, \text{J} \)
\( W_{cần \, cung \, cấp} = \frac{302400}{2880} \, \text{J} \)
\( W_{cần \, cung \, cấp} = \frac{30240}{288} \, \text{J} \)
\( W_{cần \, cung \, cấp} = \frac{15120}{144} \, \text{J} \)
\( W_{cần \, cung \, cấp} = \frac{7560}{72} \, \text{J} \)
\( W_{cần \, cung \, cấp} = 105 \, \text{J} \)

Bước 5: Tính công cần thiết để lên dây cót.

Đề bài cho biết 80% năng lượng dùng để thắng lực ma sát do hệ thống bánh răng gây ra. Điều này có nghĩa là năng lượng mà hệ thống lên dây cót cung cấp phải lớn hơn năng lượng bù đắp lực cản của con lắc để có hiệu suất 80%.

Gọi \( W_{lên \, dây \, cót} \) là công cần thiết để lên dây cót.

Theo đề bài, 80% của \( W_{lên \, dây \, cót} \) là năng lượng dùng để bù đắp lực cản của con lắc.

\( 0.80 \times W_{lên \, dây \, cót} = W_{cần \, cung \, cấp} \)
\( 0.80 \times W_{lên \, dây \, cót} = 105 \, \text{J} \)
\( W_{lên \, dây \, cót} = \frac{105}{0.80} \, \text{J} \)
\( W_{lên \, dây \, cót} = \frac{105}{4/5} \, \text{J} \)
\( W_{lên \, dây \, cót} = 105 \times \frac{5}{4} \, \text{J} \)
\( W_{lên \, dây \, cót} = \frac{525}{4} \, \text{J} \)
\( W_{lên \, dây \, cót} = 131.25 \, \text{J} \)

Kết luận:

Công cần thiết để lên dây cót cho con lắc chạy được trong 1 tuần với biên độ góc ban đầu bằng \(5^\circ\) là \(131.25 \, \text{J}\).

Kiểm tra lại các bước tính toán:

• Tính \(l\): \(l = \frac{10 \times 2^2}{4\pi^2} = \frac{10}{\pi^2}\)
• Tính \(W_0\): \(W_0 = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times \frac{10}{\pi^2} \times (\frac{\pi}{36})^2 = \frac{5}{1296}\)
• Tính \(W_4\): \(W_4 = \frac{1}{2}mgl\alpha_4^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times \frac{10}{\pi^2} \times (\frac{\pi}{45})^2 = \frac{5}{2025}\)
• Tính \( \Delta W_{4 \text{ dao động}} = W_0 – W_4 = \frac{5}{1296} – \frac{5}{2025} = \frac{1}{720} \)
• Tính \( \Delta W_{1 \text{ chu kì}} = \frac{1}{720 \times 4} = \frac{1}{2880} \)
• Số chu kì trong 1 tuần: \( N_{tuần} = \frac{7 \times 24 \times 3600}{2} = 302400 \)
• \( W_{cần \, cung \, cấp} = 302400 \times \frac{1}{2880} = 105 \, \text{J} \)
• \( W_{lên \, dây \, cót} = \frac{105}{0.8} = 131.25 \, \text{J} \)

Các bước tính toán đều hợp lý và cho ra kết quả nhất quán.

Lưu ý cho các em:

Trong bài toán này, chúng ta đã sử dụng công thức gần đúng cho thế năng tại biên khi góc nhỏ. Nếu đề bài yêu cầu độ chính xác cao hơn, chúng ta cần tính toán trực tiếp \(1 – \cos \alpha_0\). Tuy nhiên, với \( \alpha_0 = 5^\circ \), sai số là không đáng kể.

Cách tính năng lượng mất đi trung bình trong một chu kì là một giả định hợp lý để giải quyết bài toán khi không có thêm thông tin về sự phụ thuộc của lực cản vào biên độ.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách phân tích và giải các bài toán về dao động tắt dần và cách duy trì dao động.