Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về con lắc lò xo có ma sát. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ về sự biến đổi năng lượng và điều kiện để vật đạt tốc độ cực đại. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng \(0,4\) kg gắn vào đầu \(1\) lò xo có độ cứng \(20\)N/m vật được gắn trên \(1\) giá đỡ cố định nằm dọc theo trục lò xo hệ dao động theo phương nằm ngang biết hệ số ma sát giữa giá đỡ và vật là \(0,1\) kéo vật khỏi vị trí cân bằng \(20\)cm theo chiều dương rồi thả cho vật dao động không vận tốc ban đầu \(g=10m/s^2\). Tốc độ lớn nhất vật đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu?

Tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Khối lượng của vật: \(m = 0,4\) kg
• Độ cứng của lò xo: \(k = 20\) N/m
• Hệ số ma sát trượt: \(\mu = 0,1\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10\) m/s\(^2\)
• Độ biến dạng ban đầu (biên độ ban đầu): \(A_0 = 20\) cm = \(0,2\) m
• Vận tốc ban đầu: \(v_0 = 0\) m/s (thả không vận tốc ban đầu)

Yêu cầu: Tìm tốc độ lớn nhất \(v_{max}\) vật đạt được.

Phân tích bài toán:

Khi vật được kéo ra khỏi vị trí cân bằng \(20\) cm theo chiều dương rồi thả ra, vật sẽ bắt đầu chuyển động về phía vị trí cân bằng. Trong quá trình này, vật chịu tác dụng của hai lực chính theo phương ngang:

1. Lực đàn hồi của lò xo: \(F_đh = -kx\) (luôn hướng về vị trí lò xo không biến dạng, tức vị trí cân bằng ban đầu).
2. Lực ma sát trượt: \(F_{ms}\). Lực ma sát luôn ngược chiều chuyển động.

Bước 1: Xác định vị trí vật đạt tốc độ cực đại.

Tốc độ của vật đạt cực đại khi gia tốc của vật bằng \(0\), tức là tổng hợp lực tác dụng lên vật theo phương ngang bằng \(0\).

Khi vật chuyển động từ vị trí \(x = A_0 = 0,2\) m về phía vị trí cân bằng (\(x=0\)), tức là vật đang chuyển động theo chiều âm. Do đó, lực ma sát sẽ hướng theo chiều dương.

Các lực tác dụng lên vật theo phương ngang là:

• Lực đàn hồi: \(F_đh = -kx\) (vì vật đang ở \(x > 0\), lực đàn hồi kéo về vị trí cân bằng nên có chiều âm).
• Lực ma sát: \(F_{ms} = \mu N = \mu mg\) (vì vật chuyển động theo chiều âm nên lực ma sát hướng theo chiều dương).

Phương trình định luật II Newton cho vật là:

\(ma = F_đh + F_{ms}\)

\(ma = -kx + \mu mg\)

Vật đạt tốc độ cực đại khi gia tốc \(a = 0\). Từ đó ta có:

\(0 = -kx_{v_{max}} + \mu mg\)

\(kx_{v_{max}} = \mu mg\)

Trước hết, ta tính giá trị của lực ma sát: \(F_{ms} = \mu mg = 0,1 \times 0,4 \times 10 = 0,4\) N.

Vậy, vị trí mà vật đạt tốc độ cực đại là:

\(x_{v_{max}} = \frac{\mu mg}{k} = \frac{0,4}{20} = 0,02\) m.

Như vậy, vật sẽ đạt tốc độ cực đại khi nó đi qua vị trí cách vị trí cân bằng ban đầu \(2\) cm về phía dương.

Bước 2: Áp dụng Định luật biến thiên cơ năng (hoặc định lý động năng – công của lực không thế).

Năng lượng của hệ không được bảo toàn do có lực ma sát sinh công âm. Ta sử dụng công thức biến thiên cơ năng:

\(W_{ms} = \Delta E = E_{sau} – E_{trước}\)

Trong đó:

• \(E_{trước}\) là cơ năng của vật tại vị trí ban đầu (\(x = A_0\)).
• \(E_{sau}\) là cơ năng của vật tại vị trí đạt tốc độ cực đại (\(x = x_{v_{max}}\)).
• \(W_{ms}\) là công của lực ma sát thực hiện trong quá trình vật dịch chuyển từ \(A_0\) đến \(x_{v_{max}}\).

a) Cơ năng ban đầu (\(E_{trước}\)):

Tại \(x = A_0 = 0,2\) m, vật được thả không vận tốc đầu (\(v_0 = 0\)).

\(E_{trước} = \frac{1}{2}kA_0^2 + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times (0,2)^2 + \frac{1}{2} \times 0,4 \times 0^2\)

\(E_{trước} = 10 \times 0,04 = 0,4\) J.

b) Cơ năng tại vị trí đạt tốc độ cực đại (\(E_{sau}\)):

Tại \(x = x_{v_{max}} = 0,02\) m, vật có vận tốc \(v_{max}\).

\(E_{sau} = \frac{1}{2}kx_{v_{max}}^2 + \frac{1}{2}mv_{max}^2\)

\(E_{sau} = \frac{1}{2} \times 20 \times (0,02)^2 + \frac{1}{2} \times 0,4 \times v_{max}^2\)

\(E_{sau} = 10 \times 0,0004 + 0,2 v_{max}^2\)

\(E_{sau} = 0,004 + 0,2 v_{max}^2\).

c) Công của lực ma sát (\(W_{ms}\)):

Lực ma sát có độ lớn không đổi \(F_{ms} = 0,4\) N. Quãng đường vật đã đi từ lúc thả đến khi đạt tốc độ cực đại là:

\(s = A_0 – x_{v_{max}} = 0,2 – 0,02 = 0,18\) m.

Công của lực ma sát là công cản, nên nó mang dấu âm:

\(W_{ms} = -F_{ms} \times s = -0,4 \times 0,18 = -0,072\) J.

d) Giải phương trình biến thiên cơ năng để tìm \(v_{max}\):

\(W_{ms} = E_{sau} – E_{trước}\)

\(-0,072 = (0,004 + 0,2 v_{max}^2) – 0,4\)

\(-0,072 = 0,004 + 0,2 v_{max}^2 – 0,4\)

\(-0,072 = 0,2 v_{max}^2 – 0,396\)

Chuyển các số hạng không chứa \(v_{max}\) sang một vế:

\(0,2 v_{max}^2 = 0,396 – 0,072\)

\(0,2 v_{max}^2 = 0,324\)

\(v_{max}^2 = \frac{0,324}{0,2} = 1,62\)

\(v_{max} = \sqrt{1,62} \approx 1,273\) m/s.

Kết luận:

Vậy, tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình dao động là khoảng \(1,273\) m/s.

Các em thấy đó, trong các bài toán có ma sát, cơ năng không còn bảo toàn nữa mà một phần cơ năng đã chuyển hóa thành nhiệt năng do công của lực ma sát. Điều quan trọng là phải xác định đúng vị trí mà tốc độ đạt cực đại, đó là khi tổng các lực tác dụng bằng không. Chúc các em học tốt!