\( \frac{\cot x + \frac{1}{\sin x}}{\sin x + \tan x} = \frac{2 \cos x}{1 – \cos 2x} \)

Để chứng minh một đẳng thức lượng giác, chúng ta thường có hai cách tiếp cận chính:
1. Biến đổi vế trái cho bằng vế phải.
2. Biến đổi vế phải cho bằng vế trái.
3. Biến đổi cả hai vế cho cùng bằng một biểu thức trung gian.

Trong bài toán này, chúng ta sẽ tập trung vào việc biến đổi vế trái. Các em hãy cùng thầy phân tích từng bước nhé.

Bước 1: Biến đổi vế trái.

Trước hết, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của biểu thức.
* Mẫu số của phân thức chính phải khác 0: \( \sin x + \tan x \neq 0 \)
* Các hàm số lượng giác có nghĩa: \( \sin x \neq 0 \) (tức là \( x \neq k\pi \)), \( \cos x \neq 0 \) (tức là \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \))
* \( \tan x \) xác định khi \( \cos x \neq 0 \).
* \( \cot x \) xác định khi \( \sin x \neq 0 \).

Vậy điều kiện xác định chung là: \( \sin x \neq 0 \) và \( \cos x \neq 0 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ biểu diễn các hàm số \( \cot x \) và \( \tan x \) theo \( \sin x \) và \( \cos x \):
\( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)

Thay vào biểu thức vế trái (VT):

VT = \( \frac{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}}{\sin x + \frac{\sin x}{\cos x}} \)

Bước 2: Rút gọn tử số và mẫu số của vế trái.

Xét tử số:

Tử số = \( \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x + 1}{\sin x} \)

Xét mẫu số:

Mẫu số = \( \sin x + \frac{\sin x}{\cos x} \)

Để cộng hai số hạng này, ta quy đồng mẫu số:

Mẫu số = \( \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x \cos x + \sin x}{\cos x} \)

Ta có thể đặt \( \sin x \) làm nhân tử chung ở tử số của mẫu số:

Mẫu số = \( \frac{\sin x (\cos x + 1)}{\cos x} \)

Bước 3: Chia tử số cho mẫu số của vế trái.

Bây giờ, chúng ta chia biểu thức tử số cho biểu thức mẫu số:

VT = \( \frac{\frac{\cos x + 1}{\sin x}}{\frac{\sin x (\cos x + 1)}{\cos x}} \)

Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai:

VT = \( \frac{\cos x + 1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x (\cos x + 1)} \)

Nếu \( \cos x + 1 \neq 0 \), ta có thể rút gọn \( (\cos x + 1) \) ở cả tử và mẫu:
* Điều kiện \( \cos x + 1 \neq 0 \) tương đương với \( \cos x \neq -1 \), tức là \( x \neq \pi + k2\pi \). Điều này đã bao gồm trong điều kiện xác định \( x \neq k\pi \).

VT = \( \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \)

VT = \( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \)

Bước 4: Biến đổi vế phải để so sánh.

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi vế phải (VP) và xem nó có bằng \( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \) hay không.

VP = \( \frac{2 \cos x}{1 – \cos 2x} \)

Chúng ta sử dụng công thức lượng giác cho \( \cos 2x \). Có ba dạng công thức cho \( \cos 2x \):
1. \( \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x \)
2. \( \cos 2x = 2\cos^2 x – 1 \)
3. \( \cos 2x = 1 – 2\sin^2 x \)

Trong trường hợp này, mẫu số là \( 1 – \cos 2x \). Sử dụng công thức thứ ba, ta có:

\( 1 – \cos 2x = 1 – (1 – 2\sin^2 x) = 1 – 1 + 2\sin^2 x = 2\sin^2 x \)

Thay biểu thức này vào vế phải:

VP = \( \frac{2 \cos x}{2\sin^2 x} \)

Chúng ta có thể rút gọn số 2 ở cả tử và mẫu (với điều kiện \( \sin x \neq 0 \), đã được xác định ở trên):

VP = \( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \)

Bước 5: Kết luận.

Chúng ta đã biến đổi vế trái và thu được kết quả là \( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \).
Chúng ta cũng đã biến đổi vế phải và thu được kết quả là \( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \).

Vì \( \text{VT} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} \) và \( \text{VP} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} \), nên \( \text{VT} = \text{VP} \).

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.

\( \frac{\cot x + \frac{1}{\sin x}}{\sin x + \tan x} = \frac{2 \cos x}{1 – \cos 2x} \) (đpcm)

Các em thấy đấy, việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và biết cách áp dụng chúng một cách linh hoạt là chìa khóa để giải quyết các bài toán như thế này. Hãy luyện tập thêm để làm quen với các dạng bài khác nhé!