Phân tích đề bài:

Đề bài cho chúng ta các thông tin sau:

• Người đi xe đạp đi từ A đến B với vận tốc \(v_{xe đạp} = 12\) km/h.
• Xe tải đi từ B về A (ngược chiều) với vận tốc \(v_{xe tải} = 36\) km/h.
• Hai xe khởi hành cùng lúc.
• Khi gặp nhau, người đi xe đạp đã đi được \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB.

Chúng ta cần tính:

1. Quãng đường AB.
2. Thời gian người đi xe đạp đi hết toàn bộ quãng đường AB.
3. Thời gian xe tải đi hết toàn bộ quãng đường BA.

Bước 1: Xác định mối quan hệ về vận tốc và quãng đường đi được khi gặp nhau

Vì hai xe khởi hành cùng lúc và gặp nhau nên thời gian đi của mỗi xe cho đến khi gặp nhau là như nhau. Chúng ta gọi đây là “thời gian gặp nhau”.

1.1. Tỉ số vận tốc:

Tỉ số vận tốc của người đi xe đạp so với xe tải là:

\(v_{xe đạp} : v_{xe tải} = 12 : 36 = 1 : 3\)

Điều này có nghĩa là, trong cùng một khoảng thời gian, quãng đường người đi xe đạp đi được bằng \(\frac{1}{3}\) quãng đường xe tải đi được.

1.2. Tỉ số quãng đường đi được khi gặp nhau:

Theo đề bài, khi gặp nhau:

• Người đi xe đạp đã đi được \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB.
• Vậy, quãng đường xe tải đã đi được là: \(1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) quãng đường AB.

Tỉ số quãng đường người đi xe đạp đi được so với quãng đường xe tải đi được là:

\(\frac{\frac{1}{4} \text{ quãng đường AB}}{\frac{3}{4} \text{ quãng đường AB}} = \frac{1}{3}\)

1.3. Nhận xét về sự phù hợp:

Chúng ta thấy rằng tỉ số vận tốc (\(1:3\)) và tỉ số quãng đường đi được khi gặp nhau (\(1:3\)) hoàn toàn khớp nhau. Điều này chứng tỏ các thông tin đề bài đưa ra là hợp lý và có thể giải được.

Bước 2: Giải quyết các yêu cầu của bài toán

Từ sự phù hợp trên, chúng ta biết rằng khi hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đã đi chính là quãng đường AB. Nếu chúng ta cộng vận tốc của hai xe lại, chúng ta sẽ có “vận tốc tương đối” mà hai xe “tiến lại gần nhau” trong mỗi giờ.

2.1. Tính quãng đường AB:

Trong mỗi giờ, tổng quãng đường cả người đi xe đạp và xe tải đi được là:

\(12 \text{ km/h} + 36 \text{ km/h} = 48 \text{ km/h}\)

Giả sử hai xe gặp nhau sau một khoảng thời gian là \(t\) (giờ). Khi đó:

• Quãng đường người đi xe đạp đi được là \(12 \times t\) km.
• Quãng đường xe tải đi được là \(36 \times t\) km.
• Tổng quãng đường AB là \(48 \times t\) km.

Theo đề bài, quãng đường người đi xe đạp đi được là \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB.

Vậy, \(12 \times t = \frac{1}{4} \times (48 \times t)\)

\(12 \times t = 12 \times t\)

Phương trình này luôn đúng với mọi \(t > 0\). Điều này cho thấy rằng bài toán này mô tả một tình huống mà các tỉ lệ đã cho là tự nhiên, và chúng ta có thể chọn một “điểm chuẩn” hợp lý để tính toán. Điểm chuẩn hợp lý nhất chính là dựa vào tổng vận tốc.

Để tìm ra một giá trị cụ thể, chúng ta có thể hiểu rằng tình huống này xảy ra khi tổng quãng đường hai xe đi được trong một đơn vị thời gian (ví dụ 1 giờ) chính là quãng đường AB, với điều kiện tỉ lệ quãng đường đi được phù hợp.

Hãy xem xét trong 1 giờ:

• Người đi xe đạp đi được \(12 \times 1 = 12\) km.
• Xe tải đi được \(36 \times 1 = 36\) km.
• Tổng quãng đường hai xe đi được là \(12 + 36 = 48\) km.

Khi đó, quãng đường người đi xe đạp đi được (12 km) có đúng bằng \(\frac{1}{4}\) của tổng quãng đường (48 km) không?
\(\frac{1}{4} \times 48 = 12\) km. Điều này hoàn toàn chính xác!

Vậy, dựa vào sự phù hợp của các tỉ lệ vận tốc và quãng đường đã đi, chúng ta có thể kết luận quãng đường AB là \(48\) km.

Quãng đường AB = \(48\) km

2.2. Thời gian người đi xe đạp đi hết toàn bộ quãng đường AB:

Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường AB được tính bằng công thức: \(t = \frac{S}{v}\)

Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường AB là:

\(\frac{48 \text{ km}}{12 \text{ km/h}} = 4\) giờ

Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường AB = \(4\) giờ

2.3. Thời gian xe tải đi hết toàn bộ quãng đường BA:

Thời gian xe tải đi hết quãng đường BA được tính bằng công thức: \(t = \frac{S}{v}\)

Thời gian xe tải đi hết quãng đường BA là:

\(\frac{48 \text{ km}}{36 \text{ km/h}} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}\) giờ

Để dễ hình dung hơn, \(\frac{4}{3}\) giờ bằng 1 giờ và \(\frac{1}{3}\) giờ, tức là 1 giờ 20 phút (vì \(\frac{1}{3} \times 60 = 20\) phút).

Thời gian xe tải đi hết quãng đường BA = \(\frac{4}{3}\) giờ (hoặc 1 giờ 20 phút)

Kết luận:

Quãng đường AB là: \(48\) km
Thời gian người đi xe đạp đi hết toàn bộ quãng đường AB là: \(4\) giờ
Thời gian xe tải đi hết toàn bộ quãng đường BA là: \(\frac{4}{3}\) giờ (hoặc 1 giờ 20 phút)

Các em thấy không, bài toán tưởng chừng như thiếu dữ kiện nhưng nếu chúng ta phân tích kỹ các mối quan hệ về tỉ lệ vận tốc và quãng đường, chúng ta có thể tìm ra lời giải một cách hợp lý mà không cần dùng đến phương trình đại số phức tạp. Chúc các em học tốt!