Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

\( ( x – 1 )^2 – 2 ( x + 3 ) ( x – 3 ) + 4x ( x – 4 ) \)

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước, áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức.

Bước 1: Khai triển từng thành phần của biểu thức.

1.1. Khai triển thành phần thứ nhất: \( ( x – 1 )^2 \)

Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)

Áp dụng với \( A = x \) và \( B = 1 \), ta có:

\( ( x – 1 )^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \)
\( ( x – 1 )^2 = x^2 – 2x + 1 \)

1.2. Khai triển thành phần thứ hai: \( – 2 ( x + 3 ) ( x – 3 ) \)

Trước hết, chúng ta sẽ khai triển tích \( ( x + 3 ) ( x – 3 ) \). Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (A + B)(A – B) = A^2 – B^2 \)

Áp dụng với \( A = x \) và \( B = 3 \), ta có:

\( ( x + 3 ) ( x – 3 ) = x^2 – 3^2 \)
\( ( x + 3 ) ( x – 3 ) = x^2 – 9 \)

Bây giờ, chúng ta nhân kết quả này với \( -2 \):

\( – 2 ( x^2 – 9 ) = -2x^2 – 2 \cdot (-9) \)

Lưu ý quan trọng: Dấu trừ ở phía trước số 2 sẽ ảnh hưởng đến cả hai số hạng bên trong ngoặc. Nhân \( -2 \) với \( -9 \) ta được \( +18 \).

\( – 2 ( x^2 – 9 ) = -2x^2 + 18 \)

1.3. Khai triển thành phần thứ ba: \( + 4x ( x – 4 ) \)

Đây là phép nhân đơn thức với đa thức: \( A(B – C) = AB – AC \)

Áp dụng với \( A = 4x \), \( B = x \) và \( C = 4 \), ta có:

\( + 4x ( x – 4 ) = 4x \cdot x – 4x \cdot 4 \)
\( + 4x ( x – 4 ) = 4x^2 – 16x \)

Bước 2: Thay thế các thành phần đã khai triển vào biểu thức ban đầu.

Biểu thức ban đầu là:

\( ( x – 1 )^2 – 2 ( x + 3 ) ( x – 3 ) + 4x ( x – 4 ) \)

Thay các kết quả ở Bước 1 vào, ta được:

\( ( x^2 – 2x + 1 ) + ( -2x^2 + 18 ) + ( 4x^2 – 16x ) \)

Mở ngoặc (vì phía trước mỗi ngoặc là dấu cộng), ta có:

\( x^2 – 2x + 1 – 2x^2 + 18 + 4x^2 – 16x \)

Bước 3: Gom các số hạng đồng dạng và rút gọn.

Chúng ta sẽ nhóm các số hạng có cùng lũy thừa của \( x \) lại với nhau:

– Nhóm các số hạng chứa \( x^2 \):

\( x^2 – 2x^2 + 4x^2 = (1 – 2 + 4)x^2 = 3x^2 \)

– Nhóm các số hạng chứa \( x \):

\( -2x – 16x = (-2 – 16)x = -18x \)

– Nhóm các số hạng tự do (hằng số):

\( 1 + 18 = 19 \)

Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.

Kết hợp các kết quả đã gom nhóm lại, ta được biểu thức đã rút gọn:

\( 3x^2 – 18x + 19 \)

Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là: \( 3x^2 – 18x + 19 \)

Tóm tắt các bước chính:

1. Nhận diện và áp dụng đúng các hằng đẳng thức đáng nhớ (bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương) và quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
2. Cẩn thận với dấu của các số hạng, đặc biệt khi có phép trừ hoặc số âm nhân vào biểu thức trong ngoặc.
3. Thực hiện đúng phép cộng, trừ các số hạng đồng dạng để có kết quả cuối cùng.

Em hãy ôn lại các hằng đẳng thức và làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé. Chúc em học tốt!