Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập liên quan đến căn bậc hai của các biểu thức bình phương. Đây là một dạng bài quen thuộc nhưng đòi hỏi sự cẩn thận khi xử lý dấu của biểu thức bên trong căn.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào chi tiết từng phần của bài toán.

Phần d: \( \sqrt{(2\sqrt{2} – 3)^2} + \sqrt{(2\sqrt{2} + 3)^2} \)

Đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại công thức căn bậc hai của một bình phương: \( \sqrt{a^2} = |a| \). Điều này có nghĩa là kết quả của căn bậc hai của một số bình phương luôn là giá trị tuyệt đối của số đó.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho từng phần của biểu thức:

Phần thứ nhất: \( \sqrt{(2\sqrt{2} – 3)^2} \)
Chúng ta cần xác định dấu của biểu thức \( 2\sqrt{2} – 3 \).
Để làm điều này, chúng ta có thể so sánh \( 2\sqrt{2} \) với \( 3 \).
Ta có: \( (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \times (\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \).
Và \( 3^2 = 9 \).
Vì \( 8 < 9 \), nên \( \sqrt{8} < \sqrt{9} \), tức là \( 2\sqrt{2} < 3 \). Do đó, \( 2\sqrt{2} - 3 \) là một số âm. Áp dụng công thức \( \sqrt{a^2} = |a| \), ta có: \( \sqrt{(2\sqrt{2} - 3)^2} = |2\sqrt{2} - 3| \) Vì \( 2\sqrt{2} - 3 < 0 \), nên \( |2\sqrt{2} - 3| = -(2\sqrt{2} - 3) = -2\sqrt{2} + 3 \). Phần thứ hai: \( \sqrt{(2\sqrt{2} + 3)^2} \) Chúng ta cần xác định dấu của biểu thức \( 2\sqrt{2} + 3 \). Ta thấy \( 2\sqrt{2} \) là một số dương và \( 3 \) cũng là một số dương. Do đó, \( 2\sqrt{2} + 3 \) chắc chắn là một số dương. Áp dụng công thức \( \sqrt{a^2} = |a| \), ta có: \( \sqrt{(2\sqrt{2} + 3)^2} = |2\sqrt{2} + 3| \) Vì \( 2\sqrt{2} + 3 > 0 \), nên \( |2\sqrt{2} + 3| = 2\sqrt{2} + 3 \).

Bây giờ, chúng ta cộng hai kết quả lại:
\( \sqrt{(2\sqrt{2} – 3)^2} + \sqrt{(2\sqrt{2} + 3)^2} = (-2\sqrt{2} + 3) + (2\sqrt{2} + 3) \)
\( = -2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} + 3 \)
\( = (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (3 + 3) \)
\( = 0 + 6 \)
\( = 6 \)

Vậy, kết quả của phần d là 6.

Phần e: \( \sqrt{(3\sqrt{2} + 4)^2} + \sqrt{(3\sqrt{2} – 4)^2} \)

Chúng ta tiếp tục áp dụng công thức \( \sqrt{a^2} = |a| \) cho từng phần.

Phần thứ nhất: \( \sqrt{(3\sqrt{2} + 4)^2} \)
Chúng ta cần xác định dấu của biểu thức \( 3\sqrt{2} + 4 \).
Ta thấy \( 3\sqrt{2} \) là một số dương và \( 4 \) cũng là một số dương. Do đó, \( 3\sqrt{2} + 4 \) là một số dương.
Áp dụng công thức \( \sqrt{a^2} = |a| \), ta có:
\( \sqrt{(3\sqrt{2} + 4)^2} = |3\sqrt{2} + 4| \)
Vì \( 3\sqrt{2} + 4 > 0 \), nên \( |3\sqrt{2} + 4| = 3\sqrt{2} + 4 \).

Phần thứ hai: \( \sqrt{(3\sqrt{2} – 4)^2} \)
Chúng ta cần xác định dấu của biểu thức \( 3\sqrt{2} – 4 \).
Để làm điều này, chúng ta có thể so sánh \( 3\sqrt{2} \) với \( 4 \).
Ta có: \( (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \).
Và \( 4^2 = 16 \).
Vì \( 18 > 16 \), nên \( \sqrt{18} > \sqrt{16} \), tức là \( 3\sqrt{2} > 4 \).
Do đó, \( 3\sqrt{2} – 4 \) là một số dương.
Áp dụng công thức \( \sqrt{a^2} = |a| \), ta có:
\( \sqrt{(3\sqrt{2} – 4)^2} = |3\sqrt{2} – 4| \)
Vì \( 3\sqrt{2} – 4 > 0 \), nên \( |3\sqrt{2} – 4| = 3\sqrt{2} – 4 \).

Bây giờ, chúng ta cộng hai kết quả lại:
\( \sqrt{(3\sqrt{2} + 4)^2} + \sqrt{(3\sqrt{2} – 4)^2} = (3\sqrt{2} + 4) + (3\sqrt{2} – 4) \)
\( = 3\sqrt{2} + 4 + 3\sqrt{2} – 4 \)
\( = (3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (4 – 4) \)
\( = 6\sqrt{2} + 0 \)
\( = 6\sqrt{2} \)

Vậy, kết quả của phần e là \( 6\sqrt{2} \).

Các em thấy đó, chìa khóa để giải quyết các bài toán dạng này là luôn nhớ áp dụng đúng công thức \( \sqrt{a^2} = |a| \) và xác định chính xác dấu của biểu thức bên trong bình phương.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!