Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức khá thú vị, áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Đề bài:

Cho biểu thức \(D = \frac{2020^3 – 1}{2020^2 + 2021} – 19\). Hãy tính giá trị của D.

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có biểu thức cần tính là:

\(D = \frac{2020^3 – 1}{2020^2 + 2021} – 19\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tập trung xử lý phần phân số trước, sau đó mới thực hiện phép trừ 19. Hãy nhìn vào tử số của phần phân số: \(2020^3 – 1\).

Các em có nhớ hằng đẳng thức “hiệu của hai lập phương” không?

Đó chính là: \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\)

Áp dụng hằng đẳng thức này cho tử số \(2020^3 – 1\), chúng ta có thể coi \(a = 2020\) và \(b = 1\).

Vậy, tử số sẽ trở thành:

\(2020^3 – 1^3 = (2020 – 1)(2020^2 + 2020 \cdot 1 + 1^2)\)

\(= (2019)(2020^2 + 2020 + 1)\)

Bây giờ, chúng ta hãy quan sát tử số đã phân tích và mẫu số kỹ hơn:

Mẫu số của phần phân số là: \(2020^2 + 2021\)

Tử số sau khi phân tích là: \((2019)(2020^2 + 2020 + 1)\)

Các em có nhận ra điều gì đặc biệt không? Hãy nhìn vào phần trong ngoặc của tử số: \(2020^2 + 2020 + 1\)

Chúng ta có thể viết lại tổng \(2020 + 1\) thành \(2021\). Vậy, phần trong ngoặc của tử số chính là:

\(2020^2 + 2021\)

Chính xác! Phần này giống hệt mẫu số!

Vậy, phần phân số của biểu thức D sẽ được viết lại như sau:

\(\frac{2020^3 – 1}{2020^2 + 2021} = \frac{(2019)(2020^2 + 2020 + 1)}{2020^2 + 2021}\)

Thay \(2020 + 1 = 2021\) vào tử số, ta có:

\(\frac{(2019)(2020^2 + 2021)}{2020^2 + 2021}\)

Đến đây, chúng ta thấy rằng có một thừa số chung ở cả tử và mẫu, đó là \((2020^2 + 2021)\). Vì \((2020^2 + 2021)\) chắc chắn khác 0 (nó là một số dương rất lớn), chúng ta có thể rút gọn nó.

Vậy, phần phân số của biểu thức có giá trị là:

\(\frac{2020^3 – 1}{2020^2 + 2021} = 2019\)

Bây giờ, chúng ta xét lại toàn bộ biểu thức D:

\(D = \frac{2020^3 – 1}{2020^2 + 2021} – 19\)

Thay giá trị của phần phân số vừa tìm được vào, ta có:

\(D = 2019 – 19\)

\(D = 2000\)

Vậy, giá trị cuối cùng của biểu thức D là 2000.

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \(D = \frac{2020^3 – 1}{2020^2 + 2021} – 19\) là \(2000\).

Bài học rút ra là hãy luôn chú ý đến các hằng đẳng thức và cách biến đổi biểu thức để tìm ra những mối liên hệ ẩn giấu, đồng thời đừng quên đọc kỹ đề bài để không bỏ sót bất kỳ thành phần nào của biểu thức nhé các em! Chúc các em học tốt!