Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đa thức rất thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm đa thức dư khi chia một đa thức \(P(x)\) cho một tích các nhị thức, dựa trên các số dư khi chia \(P(x)\) cho từng nhị thức riêng lẻ.

Đề bài: Đa thức \(P(x)\) nếu chia cho \((x-1)\) được số dư là \(4,\) nếu chia cho \((x-3)\) được số dư là \(14\) . Tìm đa thức dư của phép chia \(P(x)\) cho \((x-1)(x-3)\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ lại hai kiến thức quan trọng:

1. Định lí Bezout (Định lí số dư):

Nếu đa thức \(P(x)\) chia cho nhị thức \((x-a)\) thì số dư là \(P(a)\).

2. Dạng của đa thức dư:

Khi chia một đa thức cho một đa thức bậc hai (ở đây là \((x-1)(x-3)\) có bậc 2), thì đa thức dư phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia, tức là bậc không quá 1. Do đó, đa thức dư có dạng \((ax + b)\) với \(a, b\) là các hằng số.

Bây giờ, chúng ta hãy áp dụng các kiến thức này để giải bài toán nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Áp dụng Định lí Bezout để tìm các giá trị của \(P(x)\) tại các điểm đặc biệt.

Theo đề bài:

• Khi chia \(P(x)\) cho \((x-1)\) được số dư là \(4\).
  Áp dụng định lí Bezout, ta có: \(P(1) = 4\).
• Khi chia \(P(x)\) cho \((x-3)\) được số dư là \(14\).
  Áp dụng định lí Bezout, ta có: \(P(3) = 14\).

Bước 2: Đặt dạng tổng quát của phép chia và đa thức dư.

Khi chia \(P(x)\) cho \((x-1)(x-3)\), ta được thương là \(Q(x)\) và đa thức dư là \(R(x)\).
Vì đa thức chia \((x-1)(x-3)\) là đa thức bậc 2, nên đa thức dư \(R(x)\) phải có bậc không quá 1. Do đó, ta có thể đặt:

\(R(x) = ax + b\)

Ta có thể viết đẳng thức của phép chia như sau:

\(P(x) = Q(x) \cdot (x-1)(x-3) + (ax + b)\)

Bước 3: Sử dụng các giá trị \(P(1)\) và \(P(3)\) để thiết lập hệ phương trình.

Thay \(x=1\) vào đẳng thức trên, ta được:

\(P(1) = Q(1) \cdot (1-1)(1-3) + (a \cdot 1 + b)\)
\(\Rightarrow P(1) = Q(1) \cdot 0 \cdot (-2) + (a + b)\)
\(\Rightarrow P(1) = a + b\)

Mà ta đã biết \(P(1) = 4\), nên ta có phương trình thứ nhất:

\(a + b = 4\) (1)

Thay \(x=3\) vào đẳng thức trên, ta được:

\(P(3) = Q(3) \cdot (3-1)(3-3) + (a \cdot 3 + b)\)
\(\Rightarrow P(3) = Q(3) \cdot (2) \cdot 0 + (3a + b)\)
\(\Rightarrow P(3) = 3a + b\)

Mà ta đã biết \(P(3) = 14\), nên ta có phương trình thứ hai:

\(3a + b = 14\) (2)

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm \(a\) và \(b\).

Chúng ta có hệ phương trình hai ẩn \(a\) và \(b\):

\(a + b = 4\) (1)
\(3a + b = 14\) (2)

Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1), ta được:

\((3a + b) – (a + b) = 14 – 4\)
\(\Rightarrow 2a = 10\)
\(\Rightarrow a = 5\)

Thay \(a = 5\) vào phương trình (1), ta được:

\(5 + b = 4\)
\(\Rightarrow b = 4 – 5\)
\(\Rightarrow b = -1\)

Bước 5: Kết luận đa thức dư.

Ta đã tìm được \(a = 5\) và \(b = -1\).
Vậy đa thức dư \(R(x)\) là \(ax + b = 5x – 1\).

Vậy, đa thức dư của phép chia \(P(x)\) cho \((x-1)(x-3)\) là \(\mathbf{5x – 1}\).

Các em nhớ luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc các bạn. Chúc các em học tốt!