Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em giải một bài toán thực tế rất hay về sự gia tăng dân số. Đây là dạng bài tập thường gặp và liên quan đến kiến thức về lãi suất kép, một ứng dụng thú vị của lũy thừa.

Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài nhé:

Đề bài: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm từ 2.000.000 thành 2.048.288 người, tính xem hằng năm dân số trung bình tăng bao nhiêu %? Biết tỷ lệ gia tăng dân số hằng năm không thay đổi.

—

Bài giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính sự tăng trưởng theo từng chu kỳ (giống như công thức lãi kép trong tài chính).

Bước 1: Xác định các đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm.

• Dân số ban đầu (ký hiệu là \(P_0\)): 2.000.000 người
• Dân số sau 2 năm (ký hiệu là \(P_n\), với \(n=2\)): 2.048.288 người
• Thời gian (ký hiệu là \(n\)): 2 năm
• Tỷ lệ gia tăng dân số trung bình hằng năm (ký hiệu là \(r\)): Cần tìm (dưới dạng phần trăm).

Bước 2: Nêu công thức tính dân số tăng trưởng theo từng năm.

Nếu dân số tăng trưởng với tỷ lệ không đổi \(r\) (dưới dạng số thập phân) mỗi năm, thì công thức tính dân số sau \(n\) năm sẽ là:

\(P_n = P_0 (1 + r)^n\)

Trong đó:

• \(P_n\) là dân số sau \(n\) năm.
• \(P_0\) là dân số ban đầu.
• \(r\) là tỷ lệ tăng trưởng dân số hằng năm (dạng số thập phân).
• \(n\) là số năm.

Bước 3: Thay số và giải phương trình tìm \(r\).

Theo đề bài và công thức trên, ta có phương trình sau:

\(2.048.288 = 2.000.000 (1 + r)^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(r\):

Chia cả hai vế cho \(2.000.000\):

\((1 + r)^2 = \frac{2.048.288}{2.000.000}\)

\((1 + r)^2 = 1.024144\)

Để tìm \((1 + r)\), ta lấy căn bậc hai của cả hai vế:

\(1 + r = \sqrt{1.024144}\)

\(1 + r = 1.012\)

(Lưu ý: Vì \(r\) là tỷ lệ tăng trưởng dân số, nên \(1+r\) phải là một số dương, do đó ta chỉ lấy nghiệm dương của căn bậc hai).

Chuyển 1 sang vế phải để tìm \(r\):

\(r = 1.012 – 1\)

\(r = 0.012\)

Bước 4: Đổi \(r\) sang phần trăm và kết luận.

Tỷ lệ \(r\) chúng ta vừa tìm được đang ở dạng số thập phân. Để chuyển sang phần trăm, chúng ta nhân với 100:

\(r = 0.012 \times 100\% = 1.2\%\)

Vậy, hằng năm dân số trung bình của thành phố Hà Nội tăng 1.2%.

—

Kết luận:

Tỷ lệ gia tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố Hà Nội là 1.2%.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Đây là một dạng bài rất thực tế, giúp chúng ta vận dụng kiến thức toán học vào cuộc sống. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!