Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập khá thú vị về hiện tượng khúc xạ ánh sáng và sự tạo thành bóng râm. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải hình dung được đường đi của tia sáng và áp dụng định luật Snell về khúc xạ.

Hãy cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Đề bài: Đặt một thước dài 70 cm theo phương thẳng đứng vuông góc với đáy bể nước nằm ngang rộng (một đầu của thước chạm đáy bể). Chiều cao của nước trong bể là 30 cm và chiết suất nước là 4/3. Nếu các tia sáng mặt trời chiếu tới bể hợp với phương thẳng đứng góc 30 độ thì bóng râm của thước dưới đáy bể dài bao nhiêu? (Đáp án: 35,2 cm)

Trước hết, chúng ta hãy phân tích đề bài và hình dung tình huống:

1. Phân tích bài toán:

• Thước dài \(L = 70 \text{ cm}\) được đặt thẳng đứng, một đầu chạm đáy bể.
• Chiều cao mực nước trong bể là \(h_{nước} = 30 \text{ cm}\).
• Điều này có nghĩa là có một phần thước ở trong không khí và một phần thước ở trong nước.
• Chiều dài phần thước trong không khí là \(L_{không khí} = L – h_{nước} = 70 \text{ cm} – 30 \text{ cm} = 40 \text{ cm}\).
• Chiều dài phần thước trong nước là \(L_{nước} = h_{nước} = 30 \text{ cm}\).
• Chiết suất của nước là \(n_{nước} = 4/3\). (Chiết suất của không khí \(n_{không khí} = 1\)).
• Góc chiếu của tia sáng mặt trời so với phương thẳng đứng (góc tới) là \(\theta_1 = 30^\circ\).
• Yêu cầu: Tính chiều dài bóng râm của thước dưới đáy bể.

2. Hình dung và Lập sơ đồ tư duy:

Bóng râm của thước trên đáy bể được tạo ra bởi tia sáng mặt trời đi qua điểm cao nhất của thước và chiếu xuống đáy bể. Vì có hai môi trường (không khí và nước), tia sáng sẽ bị khúc xạ khi đi từ không khí vào nước.

Ta có thể chia đường đi của tia sáng và sự tạo thành bóng râm thành hai phần:

1. Phần 1: Tia sáng đi từ đỉnh thước (trong không khí) đến mặt nước. Tia sáng này sẽ tạo ra một đoạn bóng “ảo” trên mặt nước.
2. Phần 2: Tia sáng sau khi khúc xạ tại mặt nước sẽ tiếp tục đi trong nước đến đáy bể, tạo ra phần bóng còn lại.

Tổng chiều dài bóng râm sẽ là tổng độ dài hình chiếu ngang của tia sáng trong cả hai môi trường.

3. Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Tính độ dài hình chiếu ngang của tia sáng trong không khí.

Tia sáng đi từ đỉnh của thước (điểm có độ cao 70 cm so với đáy) xuống mặt nước (độ cao 30 cm so với đáy). Vậy quãng đường thẳng đứng mà tia sáng đi trong không khí là \(h_{không khí} = L_{không khí} = 40 \text{ cm}\).

Góc tới của tia sáng so với phương thẳng đứng là \(\theta_1 = 30^\circ\).

Độ dài hình chiếu ngang của tia sáng trong không khí (từ gốc thước đến điểm tia sáng chạm mặt nước) là:

\(x_1 = h_{không khí} \cdot \tan(\theta_1)\)
\(x_1 = 40 \cdot \tan(30^\circ)\)
\(x_1 = 40 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(x_1 \approx 40 \cdot 0.57735 \approx 23.094 \text{ cm}\)

Bước 2: Tính góc khúc xạ của tia sáng khi đi vào nước.

Áp dụng định luật Snell về khúc xạ ánh sáng tại mặt phân cách giữa không khí và nước:

\(n_{không khí} \cdot \sin(\theta_1) = n_{nước} \cdot \sin(\theta_2)\)

Trong đó:

• \(n_{không khí} = 1\)
• \(n_{nước} = 4/3\)
• \(\theta_1 = 30^\circ\)
• \(\theta_2\) là góc khúc xạ (góc của tia sáng so với phương thẳng đứng trong nước).

Thay số vào phương trình:

\(1 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{4}{3} \cdot \sin(\theta_2)\)
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{4}{3} \cdot \sin(\theta_2)\)
\(\sin(\theta_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\)

Để tìm \(\tan(\theta_2)\), ta dùng công thức \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1 – \sin^2(\theta)}}\):

\(\tan(\theta_2) = \frac{3/8}{\sqrt{1 – (3/8)^2}} = \frac{3/8}{\sqrt{1 – 9/64}} = \frac{3/8}{\sqrt{55/64}} = \frac{3/8}{\sqrt{55}/8} = \frac{3}{\sqrt{55}}\)

\(\tan(\theta_2) \approx \frac{3}{7.4162} \approx 0.4045\)

Bước 3: Tính độ dài hình chiếu ngang của tia sáng trong nước.

Tia sáng đi trong nước một quãng thẳng đứng là chiều cao của nước: \(h_{nước} = 30 \text{ cm}\).

Độ dài hình chiếu ngang của tia sáng trong nước (từ điểm chạm mặt nước đến điểm chạm đáy bể) là:

\(x_2 = h_{nước} \cdot \tan(\theta_2)\)
\(x_2 = 30 \cdot \frac{3}{\sqrt{55}}\)
\(x_2 = \frac{90}{\sqrt{55}}\)
\(x_2 \approx \frac{90}{7.4162} \approx 12.135 \text{ cm}\)

Bước 4: Tính tổng chiều dài bóng râm.

Tổng chiều dài bóng râm trên đáy bể là tổng của \(x_1\) và \(x_2\):

\(L_{bóng} = x_1 + x_2\)
\(L_{bóng} = \frac{40}{\sqrt{3}} + \frac{90}{\sqrt{55}}\)
\(L_{bóng} \approx 23.094 + 12.135\)
\(L_{bóng} \approx 35.229 \text{ cm}\)

Làm tròn đến một chữ số thập phân, ta được:

\(L_{bóng} \approx 35.2 \text{ cm}\)

Kết luận:

Vậy, chiều dài bóng râm của thước dưới đáy bể là 35.2 cm.

Bài toán này đã minh họa rất rõ ràng việc áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng trong thực tế để tính toán đường đi của tia sáng qua các môi trường khác nhau. Các em cần chú ý hình dung đúng các góc và khoảng cách trong từng môi trường nhé.

Chúc các em học tốt!