Đặt y=1/4.căn(30+1/4.căn(x+30)), ta có hệ: 4x=căn(30+1/4.căn(30+y))…
4x=căn(30+1/4.căn(30+y)) và 4y=căn(30+1/4.căn(30+x))
Tìm x
Lười latex quá ae thông cảm 😛
Chào em, thầy rất vui khi thấy em có tinh thần tự học và đặt câu hỏi về bài toán này. Đây là một dạng bài toán hệ phương trình đối xứng loại 2 khá thú vị thường gặp trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi hoặc ôn thi vào lớp 10 chuyên.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước logic sau đây:
Bước 1: Phân tích tính đối xứng của hệ phương trình
Dựa vào cấu trúc của hệ, ta thấy cả hai phương trình đều có dạng giống nhau. Nếu ta đặt hàm số f(t) = căn bậc hai của (30 + 1/4 nhân với căn bậc hai của (30 + t)), thì hệ phương trình có thể viết lại dưới dạng:
- 4x = f(y)
- 4y = f(x)
Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số
Với các bài toán hệ phương trình đối xứng có dạng f(x) = y và f(y) = x, phương pháp hiệu quả nhất là chứng minh hàm số f(t) là hàm số đồng biến. Khi đó, ta có thể suy ra x = y.
Thật vậy, nếu x lớn hơn y, thì f(x) sẽ lớn hơn f(y), dẫn đến 4y lớn hơn 4x, tức là y lớn hơn x. Điều này tạo ra sự mâu thuẫn (trừ khi x = y). Tương tự nếu x nhỏ hơn y.
Bước 3: Giải phương trình với x = y
Khi thay x = y vào một trong hai phương trình ban đầu, ta có:
4x = căn bậc hai của (30 + 1/4 nhân với căn bậc hai của (30 + x))
Để giải phương trình này, ta thực hiện bình phương hai vế:
- 16 nhân x bình phương = 30 + 1/4 nhân với căn bậc hai của (30 + x)
- 16 nhân x bình phương – 30 = 1/4 nhân với căn bậc hai của (30 + x)
- Nhân cả hai vế với 4, ta được: 64 nhân x bình phương – 120 = căn bậc hai của (30 + x)
Bước 4: Tìm giá trị cụ thể
Đến đây, em có thể sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm. Với x là giá trị dương, ta thử thay một số giá trị đơn giản vào phương trình. Thử với x = 1.5 (tức là 3/2):
- Vế trái: 64 nhân (3/2) bình phương – 120 = 64 nhân (9/4) – 120 = 144 – 120 = 24
- Vế phải: căn bậc hai của (30 + 1.5) = căn bậc hai của 31.5 (không khớp)
Thử với x = 2:
- Vế trái: 64 nhân 4 – 120 = 256 – 120 = 136
- Vế phải: căn bậc hai của (32) (không khớp)
Lời khuyên của thầy:
Trong các bài toán hệ phương trình kiểu này, việc nhẩm nghiệm đôi khi ra các số không nguyên. Nếu em gặp khó khăn ở khâu giải phương trình bậc cao sau khi bình phương, hãy kiểm tra lại đề bài xem có nhầm lẫn ở hệ số hay không. Tuy nhiên, phương pháp cốt lõi vẫn là: Chứng minh x = y, sau đó đưa về phương trình một ẩn để giải.
Chúc em ôn tập tốt và đừng ngại đặt câu hỏi nếu còn vướng mắc ở bước nào nhé!
\({(4x=sqrt{30+1/4 sqrt{30+y}}),(4y=sqrt{30+1/4 sqrt{30+x}}):}\)
\(=> 4x-sqrt{30+1/4 sqrt{30+y}} = 4y -sqrt{30+1/4 sqrt{30+x}}\)
\(=> 4x+sqrt{30+1/4 sqrt{30+x}} =4y+ sqrt{30+1/4 sqrt{30+y}} \)
\(TH1: x<y => VT<VP(\) loại \()\)
\(TH2: x> y =>VT >VP (\) loại \()\)
\(=>x=y\)
\(=>4x=sqrt{30+1/4 sqrt{30+x}}\)
\(=>16x^2=30+1/4 sqrt{30+x}\)
\(=>16x^2-30 = 1/4 sqrt{30+x}\)
\(=> 64x^2-120=sqrt{30+x}\)
\(=> (16x^2-x-30)(256x^2+16x-479)=0\)
\((16x^2-x-30)(256x^2+16x-479)=0\)
\(TH1: 16x^2-x-30=0\)
\(=>x= (1+-sqrt{1921})/32\)
\(TH2: 256x^2+16x-479=0\)
\(=> x= (-1+-3sqrt{213})/32\)
Thành thử \(=>x in { (1+sqrt{1921})/32 ; (-1-3sqrt{213})/32}\)
\(y = \frac{1}{4}\sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+x}}\)
\(\begin{cases} 4x = \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+y}} \quad (1) \\ 4y = \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+x}} \quad (2) \end{cases}\)
\(ĐKXĐ: x>0,y>0\)
Trừ vế theo vế giữa \((1)\) và \((2)\):
\(4(x – y) = \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+y}} – \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+x}}\)
\(+)\) Nếu \(x>y\) \(⇒\) \(\sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+x}} > \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+y}}\)
\(⇒ 4(x-y)>0\) còn \(\sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+y}} – \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+x}}<0\) (VL)
Tương tự với \(x<y\) (VL)
\(⇒ x=y\)
Thay \(x=y\) vào \((2)\):
\(4x = \sqrt{30 + \frac{1}{4}\sqrt{30+x}}\)
Đặt \(t=\frac{1}{4}\sqrt{30+x}(t>0)\) \(⇒16t^2=30+x\)
PTTT:
\(4x = \sqrt{30 + t}\)
\(⇔ 16x^2 = 30+t\)
Ta có:
\(\begin{cases} 16x^2 = 30 + t \\ 16t^2 = 30 + x \end{cases}\)
\(⇔16(x^2 – t^2) = t – x \iff (x – t)[16(x + t) + 1] = 0\)
Do \(x>0,t>0\) \(⇒16(x+t)+1>0\) \(⇒x=t\)
\(⇔16x^2=30+x\)
\(⇔ 16x^2-x-30=0\)
\(\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 16 \cdot (-30) = 1921\)
Do \(x>0\) \(⇒\) \(x = \frac{1 + \sqrt{1921}}{32}\)
Vậy \(x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}\)
@tuan789
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment