đây nè: Chứng minh rằng tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán nâng cao rất thú vị về tính chia hết. Dù dạng toán này hơi khó một chút, nhưng nếu các em nắm được phương pháp đặt ẩn và tính chất chia hết thì sẽ thấy vô cùng đơn giản và dễ hiểu.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước suy luận logic sau đây:

Bước 1: Biểu diễn ba số chẵn liên tiếp

Vì ba số đã cho là ba số chẵn liên tiếp, nên khoảng cách giữa hai số chẵn liền nhau là 2 đơn vị. Do đó, ta có thể gọi ba số đó bằng cách sử dụng ẩn số như sau:

• Gọi số chẵn thứ nhất là: 2k (với k là một số tự nhiên bất kỳ).
• Số chẵn liên tiếp thứ hai là: 2k + 2.
• Số chẵn liên tiếp thứ ba là: 2k + 4.

Bước 2: Lập biểu thức tích của ba số và rút gọn

Theo đề bài, ta cần xét tích của ba số chẵn liên tiếp này. Ta có biểu thức:

A = 2k nhân với (2k + 2) nhân với (2k + 4)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức này để làm xuất hiện các thừa số chung:

• Ở thừa số thứ hai là (2k + 2), ta đặt nhân tử chung là 2 ra ngoài, ta được: 2 nhân (k + 1).
• Ở thừa số thứ ba là (2k + 4), ta đặt nhân tử chung là 2 ra ngoài, ta được: 2 nhân (k + 2).

Khi đó, tích A được viết lại thành:

A = 2k nhân [2 nhân (k + 1)] nhân [2 nhân (k + 2)]

Nhóm các số tự nhiên lại với nhau, ta thu được:

A = (2 nhân 2 nhân 2) nhân k nhân (k + 1) nhân (k + 2)

A = 8 nhân k nhân (k + 1) nhân (k + 2)

Bước 3: Chứng minh tích chia hết cho 48

Để chứng minh biểu thức A chia hết cho 48, ta cần chứng minh nó chia hết cho 48, mà số 48 chính là tích của 8 và 6 (vì 8 nhân 6 bằng 48). Ở bước trên, ta đã có số 8 ở ngoài, bây giờ ta chỉ cần chứng minh phần còn lại là k nhân (k + 1) nhân (k + 2) chia hết cho 6 là bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.

Thật vậy, ta xét cụm biểu thức k nhân (k + 1) nhân (k + 2):

• Đây chính là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (k, k + 1, k + 2).
• Trong 3 số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn sẽ có ít nhất một số là bội của 2 (số chẵn), do đó tích này chia hết cho 2.
• Trong 3 số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn sẽ có đúng một số là bội của 3, do đó tích này chia hết cho 3.
• Vì tích này vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau (có ước chung lớn nhất bằng 1), nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp này sẽ chia hết cho tích của 2 nhân 3 là 6.

Bước 4: Kết luận cuối cùng

Từ những chứng minh trên, ta có:

• Biểu thức A bằng 8 nhân [k nhân (k + 1) nhân (k + 2)].
• Vì cụm trong ngoặc vuông chia hết cho 6, nên ta suy ra A chia hết cho tích của 8 nhân 6, tức là A chia hết cho 48.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công rằng tích của ba số chẵn liên tiếp luôn luôn chia hết cho 48. Các em hãy ghi chép cẩn thận vào vở và xem lại các bước đặt nhân tử chung để ôn tập thật tốt nhé! Chúc các em học giỏi.