Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về tính chia hết nhé.

Bài toán: Chứng minh rằng tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại một vài kiến thức quan trọng.

Kiến thức cần nhớ:

• Số chẵn là số chia hết cho 2.
• Tích là kết quả của phép nhân.
• Chia hết có nghĩa là khi thực hiện phép chia, số dư bằng 0.
• Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Bắt đầu giải bài toán:

Gọi 3 số chẵn liên tiếp đó là \(n\), \(n+2\), \(n+4\), trong đó \(n\) là một số chẵn.

Ta cần chứng minh tích của chúng, tức là \(n \times (n+2) \times (n+4)\), chia hết cho 48.

Trước hết, ta phân tích số 48 ra thừa số nguyên tố:
\(48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3\).

Như vậy, để tích \(n \times (n+2) \times (n+4)\) chia hết cho 48, ta cần chứng minh nó chia hết cho \(2^4 = 16\) và chia hết cho 3.

Bước 1: Chứng minh tích chia hết cho 3.

Trong 3 số chẵn liên tiếp \(n\), \(n+2\), \(n+4\), luôn có một số chia hết cho 3.

Ta xét các trường hợp sau về số dư của \(n\) khi chia cho 3:

• Trường hợp 1: \(n\) chia hết cho 3.
  Khi đó, \(n\) là bội của 3, nên tích \(n \times (n+2) \times (n+4)\) chắc chắn chia hết cho 3.
• Trường hợp 2: \(n\) chia cho 3 dư 1.
  Tức là \(n = 3k + 1\) với \(k\) là số nguyên.
  Ta xét số \(n+2\): \(n+2 = (3k+1) + 2 = 3k + 3 = 3(k+1)\).
  Vậy \(n+2\) chia hết cho 3. Do đó, tích \(n \times (n+2) \times (n+4)\) chia hết cho 3.
• Trường hợp 3: \(n\) chia cho 3 dư 2.
  Tức là \(n = 3k + 2\) với \(k\) là số nguyên.
  Ta xét số \(n+4\): \(n+4 = (3k+2) + 4 = 3k + 6 = 3(k+2)\).
  Vậy \(n+4\) chia hết cho 3. Do đó, tích \(n \times (n+2) \times (n+4)\) chia hết cho 3.

Kết luận: Trong mọi trường hợp, tích của 3 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 3.

Bước 2: Chứng minh tích chia hết cho 16.

Vì \(n\) là số chẵn, ta có thể viết \(n = 2m\), với \(m\) là số nguyên.

Khi đó, 3 số chẵn liên tiếp là \(2m\), \(2m+2\), \(2m+4\).

Tích của chúng là: \(2m \times (2m+2) \times (2m+4)\)

Ta rút thừa số chung ra: \(2m \times 2(m+1) \times 2(m+2) = 8 \times m \times (m+1) \times (m+2)\).

Bây giờ, ta cần xem xét tích \(m \times (m+1) \times (m+2)\).

Đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp.

Trong 3 số nguyên liên tiếp \(m\), \(m+1\), \(m+2\), luôn có:

• Một số chia hết cho 3 (chúng ta đã chứng minh ở Bước 1 cho 3 số liên tiếp, chỉ khác là ở đây không yêu cầu là số chẵn).
• Ít nhất một số chia hết cho 2.
• Nếu có hai số chẵn, thì một trong hai số đó sẽ chia hết cho 4 (ví dụ: 2, 3, 4 hoặc 4, 5, 6).

Xét tích \(m \times (m+1) \times (m+2)\):
Luôn có một số chia hết cho 3.
Luôn có ít nhất hai số chẵn. Nếu có hai số chẵn, ví dụ \(m\) và \(m+2\) là số chẵn, thì \(m+1\) là số lẻ. Trong hai số chẵn liên tiếp \(m\) và \(m+2\), một số sẽ chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4.
Ví dụ: Nếu \(m\) chẵn, thì \(m\) chia hết cho 2, \(m+2\) chia hết cho 2. Hai số chẵn liên tiếp là \(m, m+2\).
Nếu \(m = 2k\), thì \(m+2 = 2k+2 = 2(k+1)\).
Nếu \(m\) chia hết cho 4, thì tích chia hết cho 4.
Nếu \(m\) không chia hết cho 4, nhưng là số chẵn, thì \(m = 4q + 2\). Khi đó \(m+2 = (4q+2) + 2 = 4q+4 = 4(q+1)\), chia hết cho 4.
Tóm lại, trong 3 số nguyên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 3 và tích của chúng luôn chia hết cho 2. Hơn nữa, luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Do đó, tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho \(2 \times 4 = 8\). (Hoặc đơn giản hơn, hai số chẵn liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4).
Vậy, \(m \times (m+1) \times (m+2)\) chia hết cho 3 và chia hết cho 8.

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên tích \(m \times (m+1) \times (m+2)\) chia hết cho \(3 \times 8 = 24\).

Quay trở lại tích ban đầu:
\(n \times (n+2) \times (n+4) = 8 \times [m \times (m+1) \times (m+2)]\)

Vì \(m \times (m+1) \times (m+2)\) chia hết cho 24, nên ta có thể viết \(m \times (m+1) \times (m+2) = 24k\) với \(k\) là số nguyên.

Khi đó, tích của chúng ta là: \(8 \times (24k) = 192k\).

Rõ ràng, \(192k\) chia hết cho 16.

Cách khác để chứng minh tích chia hết cho 16:

Ta có tích là \(8 \times m \times (m+1) \times (m+2)\).

Ta cần chứng minh \(m \times (m+1) \times (m+2)\) chia hết cho 2.

Trong 3 số nguyên liên tiếp \(m\), \(m+1\), \(m+2\), luôn có ít nhất một số chẵn. Do đó, tích \(m \times (m+1) \times (m+2)\) luôn chia hết cho 2.

Vậy, \(m \times (m+1) \times (m+2) = 2j\) với \(j\) là số nguyên.

Tích ban đầu là \(8 \times (2j) = 16j\).

Vậy, tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 16.

Bước 3: Kết luận.

Chúng ta đã chứng minh được:

• Tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 3.
• Tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 16.

Vì 3 và 16 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên tích của 3 số chẵn liên tiếp phải chia hết cho \(3 \times 16 = 48\).

Định lý đã được chứng minh.

Các em về nhà ôn lại bài và làm thêm các bài tập tương tự nhé!