Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và củng cố một dạng bài tập rất quan trọng trong chương căn thức, đó là biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng hoặc hiệu, từ đó phá bớt một lớp căn. Đây là một kỹ thuật giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức rất hiệu quả.

I. Kiến thức cần nhớ:

Để phá bớt một lớp căn của biểu thức có dạng \(\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}\), chúng ta cần biến đổi biểu thức bên trong dấu căn thành dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Cụ thể, chúng ta sử dụng hằng đẳng thức:

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Mục tiêu là tìm hai số \(x\) và \(y\) sao cho:

Nếu là \(\sqrt{A + 2\sqrt{B}}\), ta cần tìm \(x, y > 0\) sao cho:

• \(x + y = A\)
• \(xy = B\)

Khi đó, \(\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}} = \sqrt{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} + \sqrt{y}| = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) (vì \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) luôn dương).

Nếu là \(\sqrt{A – 2\sqrt{B}}\), ta cần tìm \(x, y > 0\) sao cho:

• \(x + y = A\)
• \(xy = B\)

Khi đó, \(\sqrt{A – 2\sqrt{B}} = \sqrt{x + y – 2\sqrt{xy}} = \sqrt{(\sqrt{x} – \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} – \sqrt{y}|\).

Lưu ý quan trọng: Dạng bài này đòi hỏi chúng ta phải có số 2 nằm ngay trước dấu căn nhỏ (\(2\sqrt{B}\)). Nếu chưa có số 2, chúng ta phải khéo léo biến đổi để tạo ra nó nhé!

Bây giờ, chúng ta cùng giải quyết từng bài tập cụ thể!

Bài 1: Biến đổi biểu thức \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

Phân tích:

Biểu thức của chúng ta là \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\). Chúng ta thấy rằng số đứng trước \(\sqrt{3}\) là 4, không phải 2. Vậy bước đầu tiên là chúng ta phải biến đổi \(4\sqrt{3}\) thành \(2\sqrt{B}\) theo đúng mẫu.

• Ta có: \(4\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}\).
• Để đưa số 2 còn lại vào trong căn, ta nhớ rằng \(2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}\).
• Vậy \(4\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}\).

Sau khi biến đổi, biểu thức trở thành \(\sqrt{7-2\sqrt{12}}\).

Bây giờ, chúng ta tìm hai số \(x\) và \(y\) sao cho:

• Tổng của chúng bằng \(A = 7\) (\(x+y=7\))
• Tích của chúng bằng \(B = 12\) (\(xy=12\))

Chúng ta có thể nhẩm các cặp số có tích bằng 12: \((1;12), (2;6), (3;4)\).

• \(1+12=13\) (Không phải 7)
• \(2+6=8\) (Không phải 7)
• \(3+4=7\) (Chính xác!)

Vậy hai số chúng ta cần tìm là 4 và 3.

Trình bày lời giải:

Ta có:

\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

\(= \sqrt{7 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}\)
(Biến đổi \(4\sqrt{3}\) để có số 2 trước căn nhỏ)

\(= \sqrt{7 – 2\sqrt{4 \cdot 3}}\)
(Đưa số 2 vào trong căn thành \(\sqrt{4}\))

\(= \sqrt{7 – 2\sqrt{12}}\)
(Thực hiện phép nhân trong căn)

Bây giờ, ta tìm hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12. Đó là 4 và 3.

\(= \sqrt{4 + 3 – 2\sqrt{4 \cdot 3}}\)
(Viết 7 thành \(4+3\), 12 thành \(4 \cdot 3\))

\(= \sqrt{(\sqrt{4} – \sqrt{3})^2}\)
(Áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\))

\(= |\sqrt{4} – \sqrt{3}|\)
(Khai căn bậc hai của một bình phương)

\(= |2 – \sqrt{3}|\)

Vì \(2 = \sqrt{4}\) và \(\sqrt{4} > \sqrt{3}\), nên \(2 – \sqrt{3} > 0\).
Do đó, \(|2 – \sqrt{3}| = 2 – \sqrt{3}\).

Vậy, \(\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2 – \sqrt{3}\).

Bài 2: Biến đổi biểu thức \(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\)

Phân tích:

Biểu thức của chúng ta là \(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\). Ta thấy ở đây đã có sẵn số 2 đứng trước dấu căn nhỏ (\(2\sqrt{21}\)), nên chúng ta không cần biến đổi gì thêm ở bước này.

Chúng ta cần tìm hai số \(x\) và \(y\) sao cho:

• Tổng của chúng bằng \(A = 10\) (\(x+y=10\))
• Tích của chúng bằng \(B = 21\) (\(xy=21\))

Chúng ta có thể nhẩm các cặp số có tích bằng 21: \((1;21), (3;7)\).

• \(1+21=22\) (Không phải 10)
• \(3+7=10\) (Chính xác!)

Vậy hai số chúng ta cần tìm là 7 và 3.

Trình bày lời giải:

Ta có:

\(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\)

Tìm hai số có tổng bằng 10 và tích bằng 21. Đó là 7 và 3.

\(= \sqrt{7 + 3 – 2\sqrt{7 \cdot 3}}\)
(Viết 10 thành \(7+3\), 21 thành \(7 \cdot 3\))

\(= \sqrt{(\sqrt{7} – \sqrt{3})^2}\)
(Áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\))

\(= |\sqrt{7} – \sqrt{3}|\)
(Khai căn bậc hai của một bình phương)

Vì \(\sqrt{7} > \sqrt{3}\), nên \(\sqrt{7} – \sqrt{3} > 0\).
Do đó, \(|\sqrt{7} – \sqrt{3}| = \sqrt{7} – \sqrt{3}\).

Vậy, \(\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{7} – \sqrt{3}\).

Bài 3: Biến đổi biểu thức \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)

Phân tích:

Biểu thức của chúng ta là \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\). Tương tự như bài 2, ở đây cũng đã có sẵn số 2 đứng trước dấu căn nhỏ (\(2\sqrt{15}\)).

Chúng ta cần tìm hai số \(x\) và \(y\) sao cho:

• Tổng của chúng bằng \(A = 8\) (\(x+y=8\))
• Tích của chúng bằng \(B = 15\) (\(xy=15\))

Chúng ta có thể nhẩm các cặp số có tích bằng 15: \((1;15), (3;5)\).

• \(1+15=16\) (Không phải 8)
• \(3+5=8\) (Chính xác!)

Vậy hai số chúng ta cần tìm là 5 và 3.

Trình bày lời giải:

Ta có:

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)

Tìm hai số có tổng bằng 8 và tích bằng 15. Đó là 5 và 3.

\(= \sqrt{5 + 3 + 2\sqrt{5 \cdot 3}}\)
(Viết 8 thành \(5+3\), 15 thành \(5 \cdot 3\))

\(= \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}\)
(Áp dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\))

\(= |\sqrt{5} + \sqrt{3}|\)
(Khai căn bậc hai của một bình phương)

Vì \(\sqrt{5} > 0\) và \(\sqrt{3} > 0\), nên \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\) luôn dương.
Do đó, \(|\sqrt{5} + \sqrt{3}| = \sqrt{5} + \sqrt{3}\).

Vậy, \(\sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}\).

Thầy hy vọng qua ba ví dụ này, các em đã nắm vững hơn phương pháp biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng hoặc hiệu để phá bớt lớp căn. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!