Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị, liên quan đến việc “săn vật liệu” trong game, nhưng qua lăng kính của Đại số tuyến tính nhé!

Đề bài:

Để chuẩn bị cho kỳ thi \(GK1\) sắp tới, bạn Đan cte tự hứa với bản thân: “Cứ giải xong một đề Văn hoặc đề Toán, mình sẽ vào game đi nhặt vật liệu cho Flins giải khoây”. Để nâng cấp sức mạnh tối đa cho Flins, Đan cte cần thu thập hai loại vật liệu quý hiếm sau:

+ Loại 1: Đóa Hoa Gió Mondstadt (vật liệu đột phá cấp độ).

+ Loại 2: Tinh Thể Băng Vĩnh Cửu (vật liệu nâng cấp thiên phú).

Đan cte đã chia chuyến đi săn vật liệu thành hai đợt vào ngày thứ Bảy và Chủ nhật:

+ Đợt 1 (Sau khi giải đề Toán): Đan nhặt được \(4\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng, tốn tổng cộng \(38\) phút chạy quanh bản đồ.

+ Đợt 2 (Sau khi học xong bài Văn): Đan tiếp tục nhặt được \(3\) đóa hoa gió và \(5\) tinh thể băng, tốn tổng cộng \(45\) phút.

– Yêu cầu:

a) Gọi \((x)\) là thời gian (phút) để Đan tìm và nhặt \(1\) đóa hoa gió loại \(1\) và \((y)\) là thời gian (phút) để Đan đánh quái nhặt \(1\) tinh thể băng loại \(2\). Hãy lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ trên.

b) Giải hệ phương trình để tìm thời gian cần thiết để Đan thu thập được mỗi vật phẩm loại \(1\) và loại \(2\) cho Flins.

c) Thầy giáo bảo Đan: “Nếu chiều nay em làm xong thêm \(1\) đề Toán nữa, thầy sẽ cho em nghỉ giải lao đúng \(35\) phút”. Hỏi trong thời gian này, Đan cte có kịp đi nhặt thêm \(2\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng cho Flins hay không? Vì sao?.

Giải bài toán:

a) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Theo đề bài, ta có:

+ Đợt 1: Đan nhặt được \(4\) đóa hoa gió (loại 1) và \(3\) tinh thể băng (loại 2), tốn \(38\) phút.

Nếu gọi \(x\) là thời gian nhặt 1 đóa hoa gió và \(y\) là thời gian nhặt 1 tinh thể băng, thì tổng thời gian của Đợt 1 có thể biểu diễn là:

\(4x + 3y = 38\) (1)

+ Đợt 2: Đan nhặt được \(3\) đóa hoa gió (loại 1) và \(5\) tinh thể băng (loại 2), tốn \(45\) phút.

Tương tự, tổng thời gian của Đợt 2 có thể biểu diễn là:

\(3x + 5y = 45\) (2)

Vậy, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ trên là:

\[ \begin{cases} 4x + 3y = 38 \\ 3x + 5y = 45 \end{cases} \]

b) Giải hệ phương trình để tìm thời gian cần thiết để Đan thu thập được mỗi vật phẩm:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. Ở đây, thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình (1) với 5 và phương trình (2) với 3 để hệ số của \(y\) đối nhau:

Phương trình (1) nhân 5: \(5 \times (4x + 3y) = 5 \times 38 \Rightarrow 20x + 15y = 190\) (3)

Phương trình (2) nhân 3: \(3 \times (3x + 5y) = 3 \times 45 \Rightarrow 9x + 15y = 135\) (4)

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (4):

\((20x + 15y) – (9x + 15y) = 190 – 135\)

\(20x + 15y – 9x – 15y = 55\)

\(11x = 55\)

\(x = \frac{55}{11}\)

\(x = 5\) (phút)

Bây giờ, thay giá trị \(x = 5\) vào phương trình (1) để tìm \(y\):

\(4x + 3y = 38\)

\(4(5) + 3y = 38\)

\(20 + 3y = 38\)

\(3y = 38 – 20\)

\(3y = 18\)

\(y = \frac{18}{3}\)

\(y = 6\) (phút)

Kết luận:

Thời gian cần thiết để Đan tìm và nhặt 1 đóa hoa gió loại 1 là \(5\) phút.

Thời gian cần thiết để Đan đánh quái nhặt 1 tinh thể băng loại 2 là \(6\) phút.

c) Kiểm tra xem Đan có kịp nhặt thêm vật phẩm trong thời gian nghỉ giải lao hay không:

Thầy giáo cho Đan nghỉ giải lao \(35\) phút nếu làm xong thêm 1 đề Toán. Đan cần nhặt thêm \(2\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng.

Chúng ta cần tính tổng thời gian để nhặt \(2\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng:

Thời gian nhặt \(2\) đóa hoa gió: \(2 \times x = 2 \times 5 = 10\) phút.

Thời gian nhặt \(3\) tinh thể băng: \(3 \times y = 3 \times 6 = 18\) phút.

Tổng thời gian cần thiết để nhặt \(2\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng là:

\(10 \text{ phút} + 18 \text{ phút} = 28 \text{ phút}\)

Thời gian nghỉ giải lao Đan có là \(35\) phút.

So sánh thời gian cần thiết để nhặt vật phẩm với thời gian nghỉ giải lao:

\(28 \text{ phút} < 35 \text{ phút}\)

Trả lời:

Có, trong thời gian \(35\) phút nghỉ giải lao, Đan cte kịp đi nhặt thêm \(2\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng cho Flins.

Vì sao? Bởi vì tổng thời gian Đan cần để hoàn thành việc nhặt \(2\) đóa hoa gió và \(3\) tinh thể băng là \(28\) phút, mà thời gian nghỉ giải lao Đan có là \(35\) phút. \(28\) phút nhỏ hơn \(35\) phút, nên Đan hoàn toàn có thể thực hiện được.

Các em thấy không, Toán học có thể giúp chúng ta giải quyết rất nhiều vấn đề trong cuộc sống, kể cả việc “săn vật liệu” trong game! Hãy ôn tập thật tốt để chuẩn bị cho kỳ thi nhé!