Phân tích đề bài:

Bạn Đan đang muốn thu thập vật phẩm cho hai nhân vật: Diluc (Genshin Impact) và Dan Heng (Honkai: Star Rail).

• Vật phẩm loại 1: Tinh tú Mondstadt (dành cho Diluc).
• Vật phẩm loại 2: Ngọc Rồng Vidyadhara (dành cho Dan Heng).

Chúng ta có thông tin về thời gian Đan thu thập vật phẩm trong hai giai đoạn:

• Giai đoạn 1 (Luyện toán): Thu thập \(3\) vật phẩm loại 1 và \(2\) vật phẩm loại 2, tốn tổng cộng \(190\) phút.
• Giai đoạn 2 (Học văn): Thu thập \(5\) vật phẩm loại 1 và \(4\) vật phẩm loại 2, tốn tổng cộng \(330\) phút.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

a) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ trên.

Theo đề bài, chúng ta đã được gợi ý:

• Gọi \((x)\) là thời gian (phút) để thu thập \(1\) vật phẩm loại 1.
• Gọi \((y)\) là thời gian (phút) để thu thập \(1\) vật phẩm loại 2.

Từ thông tin của từng giai đoạn, chúng ta có thể lập các phương trình như sau:

• Giai đoạn 1: Đan thu thập \(3\) vật phẩm loại 1 và \(2\) vật phẩm loại 2, tốn \(190\) phút.
  
  Thời gian thu thập \(3\) vật phẩm loại 1 là \(3x\) (phút).
  
  Thời gian thu thập \(2\) vật phẩm loại 2 là \(2y\) (phút).
  
  Tổng thời gian là \(3x + 2y\). Vậy, ta có phương trình thứ nhất:
  
  \(3x + 2y = 190\) (1)
• Giai đoạn 2: Đan thu thập \(5\) vật phẩm loại 1 và \(4\) vật phẩm loại 2, tốn \(330\) phút.
  
  Thời gian thu thập \(5\) vật phẩm loại 1 là \(5x\) (phút).
  
  Thời gian thu thập \(4\) vật phẩm loại 2 là \(4y\) (phút).
  
  Tổng thời gian là \(5x + 4y\). Vậy, ta có phương trình thứ hai:
  
  \(5x + 4y = 330\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

\( \begin{cases} 3x + 2y = 190 \\ 5x + 4y = 330 \end{cases} \)

b) Giải hệ phương trình để tính thời gian cần thiết để thu thập mỗi loại vật phẩm cho Diluc và Dan Heng.

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số (hoặc phương pháp thế).

Hệ phương trình là:

\( \begin{cases} 3x + 2y = 190 \quad (1) \\ 5x + 4y = 330 \quad (2) \end{cases} \)

Cô sẽ chọn phương pháp cộng đại số, bằng cách nhân phương trình (1) với 2 để làm cho hệ số của \(y\) giống với phương trình (2):

Nhân phương trình (1) với 2, ta được:

\(2 \times (3x + 2y) = 2 \times 190\)

\(6x + 4y = 380 \quad (1′)\)

Bây giờ, ta có hệ phương trình mới:

\( \begin{cases} 6x + 4y = 380 \quad (1′) \\ 5x + 4y = 330 \quad (2) \end{cases} \)

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1′), ta được:

\((6x + 4y) – (5x + 4y) = 380 – 330\)

\(6x – 5x + 4y – 4y = 50\)

\(x = 50\)

Bây giờ, thay giá trị của \(x = 50\) vào phương trình (1) ban đầu để tìm \(y\):

\(3(50) + 2y = 190\)

\(150 + 2y = 190\)

\(2y = 190 – 150\)

\(2y = 40\)

\(y = \frac{40}{2}\)

\(y = 20\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x; y) = (50; 20)\).

Kết luận:

• Thời gian cần thiết để thu thập \(1\) vật phẩm loại 1 (Tinh tú Mondstadt cho Diluc) là \(\mathbf{50}\) phút.
• Thời gian cần thiết để thu thập \(1\) vật phẩm loại 2 (Ngọc Rồng Vidyadhara cho Dan Heng) là \(\mathbf{20}\) phút.

c) Nếu Đan chỉ có \(120\) phút nghỉ giải lao sau khi học Văn, liệu Đan có đủ thời gian để thu thập mỗi loại \(2\) vật phẩm không?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần tính tổng thời gian Đan cần để thu thập mỗi loại \(2\) vật phẩm.

• Thời gian để thu thập \(2\) vật phẩm loại 1 là: \(2 \times x = 2 \times 50 = 100\) (phút).
• Thời gian để thu thập \(2\) vật phẩm loại 2 là: \(2 \times y = 2 \times 20 = 40\) (phút).

Tổng thời gian Đan cần để thu thập mỗi loại \(2\) vật phẩm là:

\(100 + 40 = 140\) (phút).

Đan chỉ có \(120\) phút nghỉ giải lao.

So sánh thời gian cần thiết và thời gian có sẵn:

\(140\) phút (thời gian cần) \(>\) \(120\) phút (thời gian có).

Kết luận: Đan không đủ thời gian để thu thập mỗi loại \(2\) vật phẩm trong \(120\) phút nghỉ giải lao của mình.

Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã củng cố thêm kiến thức về cách lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, cũng như biết cách áp dụng vào các bài toán thực tế. Hãy luôn chăm chỉ và phát huy niềm đam mê của mình như bạn Đan nhé!