Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về năng suất lao động rất thú vị và quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 nhé. Để giải quyết dạng bài này, chúng ta cần xác định rõ các đại lượng: tổng công việc, thời gian hoàn thành và năng suất của mỗi đối tượng. Đặc biệt, hãy chú ý đến sự đồng nhất về đơn vị thời gian!

Chúng ta cùng phân tích đề bài:

• Hai tổ làm chung thì hoàn thành công việc trong 6 giờ.
• Sau khi làm chung 2 giờ, tổ 2 được điều đi làm việc khác.
• Tổ 1 hoàn thành phần việc còn lại trong 10 ngày.
• Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu tổ 2 làm xong công việc đó?

Lưu ý quan trọng: Đề bài cho đơn vị thời gian không đồng nhất (giờ và ngày). Chúng ta cần đổi về cùng một đơn vị. Vì có “10 ngày” nên ta sẽ đổi “giờ” ra “ngày”.

• 1 ngày = 24 giờ.
• 6 giờ = \( \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \) ngày.
• 2 giờ = \( \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \) ngày.

Bây giờ, chúng ta cùng giải bài toán nhé!

Bước 1: Gọi ẩn và xác định năng suất.

Gọi thời gian để tổ 1 hoàn thành một mình toàn bộ công việc là \( x \) (ngày).

Gọi thời gian để tổ 2 hoàn thành một mình toàn bộ công việc là \( y \) (ngày).

(Điều kiện: \( x > 0 \), \( y > 0 \)).

Khi đó:

• Trong 1 ngày, tổ 1 làm được \( \frac{1}{x} \) (phần công việc). Đây chính là năng suất của tổ 1.
• Trong 1 ngày, tổ 2 làm được \( \frac{1}{y} \) (phần công việc). Đây chính là năng suất của tổ 2.

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các giả thiết của đề bài.

Giả thiết thứ nhất: “Hai tổ làm chung trong 6 giờ (tức \( \frac{1}{4} \) ngày) thì hoàn thành công việc.”

Năng suất làm chung của cả hai tổ trong 1 ngày là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \).

Tổng công việc là 1 (tức là 100% công việc).

Do đó, ta có phương trình:

\( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{1}{4} = 1 \)

\( \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \) (Phương trình 1)

Giả thiết thứ hai: “Sau 2 giờ (tức \( \frac{1}{12} \) ngày) làm chung thì tổ 2 được điều đi làm việc khác, tổ 1 đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 ngày.”

• Trong \( \frac{1}{12} \) ngày làm chung, cả hai tổ đã làm được một lượng công việc là: \( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{1}{12} \)
• Trong 10 ngày sau đó, tổ 1 làm một mình được một lượng công việc là: \( \frac{1}{x} \times 10 \)

Tổng công việc hoàn thành là 1, nên ta có phương trình:

\( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{1}{12} + \frac{10}{x} = 1 \) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \quad (1) \\ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{1}{12} + \frac{10}{x} = 1 \quad (2) \end{cases} \)

Thay (1) vào (2), ta được:

\( 4 \times \frac{1}{12} + \frac{10}{x} = 1 \)

\( \frac{4}{12} + \frac{10}{x} = 1 \)

\( \frac{1}{3} + \frac{10}{x} = 1 \)

\( \frac{10}{x} = 1 – \frac{1}{3} \)

\( \frac{10}{x} = \frac{2}{3} \)

\( 2x = 10 \times 3 \)

\( 2x = 30 \)

\( x = 15 \)

Vậy, tổ 1 làm một mình mất 15 ngày để hoàn thành công việc.

Bây giờ, thay \( x = 15 \) vào phương trình (1) để tìm \( y \):

\( \frac{1}{15} + \frac{1}{y} = 4 \)

\( \frac{1}{y} = 4 – \frac{1}{15} \)

\( \frac{1}{y} = \frac{60}{15} – \frac{1}{15} \)

\( \frac{1}{y} = \frac{59}{15} \)

\( y = \frac{15}{59} \)

Vì \( y = \frac{15}{59} > 0 \), thỏa mãn điều kiện.

Thời gian tổ 2 làm một mình để hoàn thành công việc là \( \frac{15}{59} \) ngày.

Bước 4: Kết luận.

Vậy, nếu tổ 2 làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong \( \frac{15}{59} \) ngày.

Để dễ hình dung hơn, \( \frac{15}{59} \) ngày xấp xỉ \( 0.254 \) ngày. Nếu đổi ra giờ: \( \frac{15}{59} \times 24 \approx 6.1 \) giờ. Như vậy, tổ 2 làm rất nhanh!)

Các em thấy không, bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kỹ từng giả thiết, đổi đơn vị thống nhất và lập hệ phương trình đúng thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng. Chúc các em học tốt!