Chào các em học sinh lớp 12! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào một bài toán về dòng điện xoay chiều. Bài toán này yêu cầu chúng ta xác định giá trị cường độ tức thời của dòng điện tại một thời điểm xác định và xem nó đang tăng hay giảm.

Bài toán:

Dòng điện xoay chiều có cường độ \(i = 4\sqrt{2}\cos(120\pi t + \frac{\pi}{2})\) (A).

Ở thời điểm \(t = \frac{1}{90}\) s, cường độ tức thời của dòng điện có giá trị là bao nhiêu và đang tăng hay giảm?

Phân tích bài toán:

Chúng ta có phương trình cường độ dòng điện xoay chiều theo thời gian:

\(i(t) = I_0 \cos(\omega t + \phi)\)

Trong đó:

• \(I_0\) là biên độ dòng điện (A).
• \(\omega\) là tần số góc (rad/s).
• \(\phi\) là pha ban đầu (rad).
• \(t\) là thời gian (s).

Trong bài toán này, chúng ta có:

• Biên độ dòng điện: \(I_0 = 4\sqrt{2}\) A.
• Tần số góc: \(\omega = 120\pi\) rad/s.
• Pha ban đầu: \(\phi = \frac{\pi}{2}\) rad.

Chúng ta cần tìm giá trị cường độ tức thời \(i\) tại thời điểm \(t = \frac{1}{90}\) s.

Để xác định dòng điện đang tăng hay giảm, chúng ta cần xem xét đạo hàm của cường độ dòng điện theo thời gian, tức là vận tốc biến thiên của cường độ dòng điện.

Giải bài toán:

Bước 1: Tính cường độ tức thời tại thời điểm \(t = \frac{1}{90}\) s.

Thay \(t = \frac{1}{90}\) s vào phương trình cường độ dòng điện:

\(i\left(\frac{1}{90}\right) = 4\sqrt{2}\cos\left(120\pi \cdot \frac{1}{90} + \frac{\pi}{2}\right)\)

Tính toán trong hàm cos:

\(120\pi \cdot \frac{1}{90} = \frac{120\pi}{90} = \frac{12\pi}{9} = \frac{4\pi}{3}\)

Vậy, biểu thức trở thành:

\(i\left(\frac{1}{90}\right) = 4\sqrt{2}\cos\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right)\)

Quy đồng mẫu số trong phần pha:

\(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\)

Do đó:

\(i\left(\frac{1}{90}\right) = 4\sqrt{2}\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\)

Giá trị của \(\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\) là \(\cos\left(2\pi – \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Thay vào biểu thức cường độ:

\(i\left(\frac{1}{90}\right) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}\) A.

Bước 2: Xác định xem dòng điện đang tăng hay giảm.

Để xác định dòng điện đang tăng hay giảm, chúng ta tính đạo hàm của \(i(t)\) theo \(t\).

Đạo hàm của \(i(t) = I_0 \cos(\omega t + \phi)\) là:

\(\frac{di}{dt} = -I_0 \omega \sin(\omega t + \phi)\)

Trong bài toán này:

\(\frac{di}{dt} = -4\sqrt{2} \cdot 120\pi \sin(120\pi t + \frac{\pi}{2})\)

Tại thời điểm \(t = \frac{1}{90}\) s, chúng ta có:

\(\omega t + \phi = \frac{11\pi}{6}\) (như đã tính ở Bước 1).

Vậy đạo hàm tại thời điểm này là:

\(\frac{di}{dt}\bigg|_{t=\frac{1}{90}} = -4\sqrt{2} \cdot 120\pi \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\)

Giá trị của \(\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\) là \(\sin\left(2\pi – \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).

Thay vào biểu thức đạo hàm:

\(\frac{di}{dt}\bigg|_{t=\frac{1}{90}} = -4\sqrt{2} \cdot 120\pi \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{di}{dt}\bigg|_{t=\frac{1}{90}} = 2\sqrt{2} \cdot 120\pi = 240\sqrt{2}\pi\) A/s.

Kết luận:

Vì giá trị của \(\frac{di}{dt}\) tại thời điểm \(t = \frac{1}{90}\) s là \(240\sqrt{2}\pi\), một giá trị dương, điều này có nghĩa là cường độ tức thời của dòng điện đang tăng.

Vậy, ở thời điểm \(t = \frac{1}{90}\) s, cường độ tức thời của dòng điện có giá trị là \(2\sqrt{6}\) A và đang tăng.

Các em có câu hỏi gì không? Bài toán này minh họa rõ cách chúng ta có thể sử dụng các công cụ toán học như thay thế giá trị và tính đạo hàm để phân tích hành vi của dòng điện xoay chiều.