Câu 1: Cho hàm số \(y=f(x) = \frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + (2m-3)x + \frac{2}{3}\) (m là tham số thực). Chúng ta cần xác định xem các mệnh đề dưới đây là đúng hay sai.

Trước hết, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) để khảo sát sự biến thiên và tìm điểm cực trị.

Ta có:
\(y’ = f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2(m-1)x + (2m-3)\)
\(f'(x) = x^2 + 2(m-1)x + (2m-3)\)

Đây là một tam thức bậc hai.

a) Khi \(m=2\), hàm số đồng biến trên \(R\)

Khi \(m=2\), đạo hàm của hàm số trở thành:
\(f'(x) = x^2 + 2(2-1)x + (2(2)-3)\)
\(f'(x) = x^2 + 2x + 1\)
\(f'(x) = (x+1)^2\)

Để hàm số đồng biến trên \(R\), ta cần \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in R\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại hữu hạn điểm.
Ở đây, \(f'(x) = (x+1)^2 \geq 0\) với mọi \(x \in R\).
\(f'(x) = 0\) khi \(x+1=0\), tức là \(x=-1\). Đây là một điểm duy nhất.
Vậy, khi \(m=2\), hàm số đồng biến trên \(R\).

Mệnh đề a) là Đúng.

b) Với mọi \(m \in R\), hàm số luôn có hai điểm cực trị phân biệt

Hàm số có hai điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \(f'(x) = x^2 + 2(m-1)x + (2m-3) = 0\) là một tam thức bậc hai. Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là biệt thức Delta (\(\Delta\)) phải lớn hơn 0.

\(\Delta = [2(m-1)]^2 – 4 \cdot 1 \cdot (2m-3)\)
\(\Delta = 4(m-1)^2 – 4(2m-3)\)
\(\Delta = 4(m^2 – 2m + 1) – 8m + 12\)
\(\Delta = 4m^2 – 8m + 4 – 8m + 12\)
\(\Delta = 4m^2 – 16m + 16\)
\(\Delta = 4(m^2 – 4m + 4)\)
\(\Delta = 4(m-2)^2\)

Để có hai điểm cực trị phân biệt, ta cần \(\Delta > 0\).
\(4(m-2)^2 > 0\)
\((m-2)^2 > 0\)

Điều này xảy ra khi \(m-2 \neq 0\), tức là \(m \neq 2\).
Như vậy, hàm số chỉ có hai điểm cực trị phân biệt khi \(m \neq 2\). Nếu \(m=2\), \(\Delta = 0\), phương trình \(f'(x)=0\) có nghiệm kép, hàm số không có hai điểm cực trị phân biệt (chỉ có một điểm uốn).

Mệnh đề b) là Sai.

c) Giá trị \(m=3\) giúp hai điểm cực trị \(x_1\), \(x_2\) của hàm số thoả mãn \(x_{1}^2 + x_{2}^2 = 10\)

Khi \(m=3\), đạo hàm là:
\(f'(x) = x^2 + 2(3-1)x + (2(3)-3)\)
\(f'(x) = x^2 + 4x + 3\)

Ta cần tìm nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\):
\(x^2 + 4x + 3 = 0\)
Ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
\((x+1)(x+3) = 0\)
Vậy, hai nghiệm là \(x_1 = -1\) và \(x_2 = -3\).

Bây giờ, chúng ta kiểm tra điều kiện \(x_{1}^2 + x_{2}^2 = 10\):
\(x_{1}^2 + x_{2}^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10\).

Điều kiện này được thỏa mãn.

Mệnh đề c) là Đúng.

d) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1 ; +\infty ) \) khi và chỉ khi \(m \geq 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1 ; +\infty ) \) khi và chỉ khi \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in (1 ; +\infty )\).
Ta có \(f'(x) = x^2 + 2(m-1)x + (2m-3)\).
Đây là một tam thức bậc hai với hệ số \(a=1 > 0\). Đồ thị của \(f'(x)\) là một parabol có bề lõm quay lên trên.

Để \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in (1 ; +\infty )\), có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in R\).
Điều này xảy ra khi \(\Delta \leq 0\).
Ta đã tính \(\Delta = 4(m-2)^2\).
\(4(m-2)^2 \leq 0\). Vì \((m-2)^2 \geq 0\), nên điều này chỉ xảy ra khi \((m-2)^2 = 0\), tức là \(m=2\).
Khi \(m=2\), \(f'(x) = (x+1)^2 \geq 0\) với mọi \(x \in R\), do đó hàm số đồng biến trên \(R\), và đương nhiên đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \). \(m=2\) thỏa mãn \(m \geq 1\).

Trường hợp 2: \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in (1 ; +\infty )\), ngay cả khi \(\Delta > 0\).
Điều này xảy ra khi hai nghiệm \(x_1, x_2\) của \(f'(x)=0\) đều nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của \(f'(x) = x^2 + 2(m-1)x + (2m-3) = 0\).
Để hàm số đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \), ta cần hai trường hợp sau:
– Phương trình \(f'(x)=0\) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm và \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x\). Điều này xảy ra khi \(\Delta \leq 0\), tức là \(m=2\). Khi \(m=2\), \(f'(x) = (x+1)^2 \geq 0\) với mọi \(x\).
– Phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) và cả hai nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tức là \(x_1 \leq 1\) và \(x_2 \leq 1\).
Điều kiện để hai nghiệm của tam thức \(ax^2+bx+c=0\) đều nhỏ hơn hoặc bằng một số \(k\) là:
1. \(\Delta \geq 0\)
2. \(a \cdot f(k) \geq 0\)
3. \(-\frac{b}{2a} \leq k\)

Áp dụng vào bài toán:
1. \(\Delta = 4(m-2)^2 \geq 0\). Điều này luôn đúng với mọi \(m\).
2. \(a=1\). Ta cần \(1 \cdot f'(1) \geq 0\).
\(f'(1) = 1^2 + 2(m-1)(1) + (2m-3)\)
\(f'(1) = 1 + 2m – 2 + 2m – 3\)
\(f'(1) = 4m – 4\)
Vậy ta cần \(4m – 4 \geq 0 \implies 4m \geq 4 \implies m \geq 1\).
3. \(-\frac{b}{2a} \leq 1\).
\(-\frac{2(m-1)}{2 \cdot 1} \leq 1\)
\(-(m-1) \leq 1\)
\(-m + 1 \leq 1\)
\(-m \leq 0\)
\(m \geq 0\)

Kết hợp các điều kiện để hai nghiệm cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1:
– \(m=2\) (Trường hợp \(\Delta=0\)). \(m=2\) thỏa mãn \(m \geq 1\).
– \(m \geq 1\) và \(m \geq 0\) và \(\Delta \geq 0\) (luôn đúng).
Do đó, để hai nghiệm \(x_1, x_2 \leq 1\), ta cần \(m \geq 1\).

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng \( (1 ; +\infty ) \) khi \(m=2\) (khi \(\Delta=0\)) hoặc khi \(m \geq 1\) (khi \(\Delta > 0\) và hai nghiệm đều nhỏ hơn hoặc bằng 1).
Tóm lại, hàm số đồng biến trên khoảng \( (1 ; +\infty ) \) khi \(m \geq 1\).

Ta cần xét xem mệnh đề “khi và chỉ khi” có đúng không. Nghĩa là, nếu hàm số đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \) thì \(m \geq 1\), và nếu \(m \geq 1\) thì hàm số đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \).

Chúng ta đã chứng minh được rằng nếu \(m \geq 1\), thì \(f'(x) \geq 0\) trên \( (1 ; +\infty ) \).

Bây giờ, xét chiều ngược lại: Nếu hàm số đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \), thì có suy ra \(m \geq 1\) không?
Nếu hàm số đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \), thì \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in (1 ; +\infty )\).
Xét trường hợp \(m < 1\). Khi \(m < 1\), ta có \(m \geq 0\) (từ điều kiện \(-\frac{b}{2a} \leq 1\)) và \(m < 1\). Nếu \(m < 1\), thì \(f'(1) = 4m - 4 < 0\). Vì \(f'(x)\) là một parabol có bề lõm quay lên và \(f'(1) < 0\), nên sẽ có những giá trị \(x\) lớn hơn 1 mà tại đó \(f'(x) < 0\). Cụ thể, nếu \(m < 1\), thì \(m-2 < -1\). \(\Delta = 4(m-2)^2 > 4\).
Các nghiệm là \(x = -(m-1) \pm \sqrt{(m-2)^2} = -(m-1) \pm |m-2|\).
Vì \(m < 1\), nên \(m-2 < 0\), do đó \(|m-2| = -(m-2) = 2-m\). Các nghiệm là: \(x_1 = -(m-1) + (2-m) = -m + 1 + 2 - m = 3 - 2m\) \(x_2 = -(m-1) - (2-m) = -m + 1 - 2 + m = -1\) Nếu \(m < 1\), thì \(3 - 2m > 3 – 2(1) = 1\).
Ví dụ, nếu \(m=0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). \(f'(x) = x^2 – 2x – 3\). Khoảng \( (1 ; +\infty ) \), \(f'(x)\) sẽ âm giữa \(x=-1\) và \(x=3\). Vậy trên \( (1 ; 3) \), \(f'(x) < 0\). Do đó, nếu \(m < 1\), hàm số không đồng biến trên \( (1 ; +\infty ) \). Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng \( (1 ; +\infty ) \) khi và chỉ khi \(m \geq 1\). Mệnh đề d) là Đúng.

Tóm lại kết quả của chúng ta là:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng

Các em có câu hỏi nào không? Hãy hỏi thầy để chúng ta cùng làm rõ nhé.