Chào các em học sinh lớp 12! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phóng xạ, một ứng dụng rất thú vị trong y học, đặc biệt là trong kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp PET.

Đề bài: Dược chất phóng xạ FDG có thành phần là đồng vị ¹⁸F với chu kì bán rã là 110 phút, được sử dụng trong chụp ảnh cắt lớp PET. Dược chất này được sản xuất bằng cách bắn phá vào các hạt đồng vị ¹⁸O nhờ một loại hạt được tăng tốc bằng máy gia tốc. Trước khi chụp ảnh cắt lớp PET, bệnh nhân sẽ được tiêm liều lượng dược chất FDG để đảm bảo độ phóng xạ trên mỗi kg cân nặng là không đổi. Hai bệnh nhân cùng cân nặng, cùng sử dụng FDG trong cùng một đợt sản xuất, nhưng được tiêm ở 2 thời điểm cách nhau 55 phút. Bệnh nhân hai phải tiêm lượng FDG nhiều hơn bệnh nhân một bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần mười)?

Trước hết, chúng ta hãy phân tích các thông tin quan trọng mà đề bài cung cấp:

• Chu kì bán rã của ¹⁸F: \(T = 110\) phút.
• Mục tiêu: Đảm bảo độ phóng xạ trên mỗi kg cân nặng là không đổi khi tiêm. Vì hai bệnh nhân cùng cân nặng, điều này có nghĩa là độ phóng xạ (hay hoạt độ phóng xạ) của lượng FDG được tiêm vào cơ thể hai bệnh nhân tại thời điểm tiêm phải bằng nhau.
• Thời gian tiêm của bệnh nhân hai trễ hơn bệnh nhân một là \(t_{chênh} = 55\) phút.
• Yêu cầu: Tính phần trăm lượng FDG bệnh nhân hai cần tiêm nhiều hơn bệnh nhân một.

Cách giải ngắn gọn:

Gọi \(A_0\) là hoạt độ phóng xạ ban đầu của một lượng FDG tại thời điểm sản xuất. Lượng hoạt độ phóng xạ \(A\) sau thời gian \(t\) được tính theo công thức:

\(A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)

Hoạt độ phóng xạ \(A\) của một mẫu dược chất tỉ lệ thuận với khối lượng \(m\) của dược chất đó. Do đó, hoạt độ phóng xạ ban đầu \(A_0\) cũng tỉ lệ thuận với khối lượng \(m\) của FDG được lấy ra từ cùng một đợt sản xuất. Chúng ta có thể xem \(A_{0} = k \cdot m\), với \(k\) là hằng số hoạt độ phóng xạ riêng tại thời điểm sản xuất.

Gọi \(m_1\) và \(m_2\) lần lượt là khối lượng FDG tiêm cho bệnh nhân một và bệnh nhân hai.
Gọi \(t_1\) là thời gian từ lúc sản xuất đến khi tiêm cho bệnh nhân một.
Gọi \(t_2\) là thời gian từ lúc sản xuất đến khi tiêm cho bệnh nhân hai.

Theo đề bài, bệnh nhân hai được tiêm sau bệnh nhân một 55 phút, tức là \(t_2 = t_1 + 55\) phút.

Vì hoạt độ phóng xạ tại thời điểm tiêm phải bằng nhau cho cả hai bệnh nhân, gọi hoạt độ này là \(A_{tiêm}\). Ta có:

\(A_{tiêm} = (k \cdot m_1) \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}}\) (Đối với bệnh nhân một)

\(A_{tiêm} = (k \cdot m_2) \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{T}}\) (Đối với bệnh nhân hai)

Từ đó, ta có phương trình:

\(k \cdot m_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = k \cdot m_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{T}}\)

Triệt tiêu hằng số \(k\) (vì \(k \neq 0\)) và thay \(t_2 = t_1 + 55\):

\(m_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = m_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1 + 55}{T}}\)

Sử dụng tính chất \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1 + 55}{T}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}\):

\(m_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = m_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}\)

Chia cả hai vế cho \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}}\) (vì nó khác 0):

\(m_1 = m_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}\)

Suy ra tỉ số \(\frac{m_2}{m_1}\):

\(\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}} = 2^{\frac{55}{T}}\)

Thay chu kì bán rã \(T = 110\) phút vào:

\(\frac{m_2}{m_1} = 2^{\frac{55}{110}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\)

Giá trị của \(\sqrt{2} \approx 1.41421\).

Lượng FDG bệnh nhân hai cần tiêm nhiều hơn bệnh nhân một theo phần trăm là:

\(\text{Phần trăm tăng} = \left(\frac{m_2 – m_1}{m_1}\right) \times 100\% = \left(\frac{m_2}{m_1} – 1\right) \times 100\%\)

\(= (\sqrt{2} – 1) \times 100\% \approx (1.41421 – 1) \times 100\% = 0.41421 \times 100\% = 41.421\%\)

Làm tròn đến chữ số hàng phần mười, ta được 41.4%.

Cách giải chi tiết:

Bước 1: Hiểu về phóng xạ và công thức hoạt độ phóng xạ.

Trong vật lý hạt nhân, phóng xạ là quá trình các hạt nhân nguyên tử không bền tự phát ra các tia phóng xạ và biến đổi thành hạt nhân khác. Hoạt độ phóng xạ (kí hiệu là \(A\)) đặc trưng cho tốc độ phân rã của các hạt nhân phóng xạ. Nó được đo bằng số phân rã trong một đơn vị thời gian.

Công thức tính hoạt độ phóng xạ \(A\) theo thời gian \(t\) là:

\(A = A_0 e^{-\lambda t}\) hoặc \(A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)

Trong đó:

• \(A_0\) là hoạt độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t=0\)).
• \(A\) là hoạt độ phóng xạ tại thời điểm \(t\).
• \(\lambda\) là hằng số phân rã phóng xạ.
• \(T\) là chu kì bán rã, là thời gian để một nửa số hạt nhân phóng xạ ban đầu phân rã. Mối liên hệ giữa \(\lambda\) và \(T\) là \(\lambda = \frac{\ln 2}{T}\).

Trong bài toán này, chu kì bán rã của ¹⁸F là \(T = 110\) phút.

Bước 2: Xác định điều kiện của bài toán.

Đề bài cho biết: “Trước khi chụp ảnh cắt lớp PET, bệnh nhân sẽ được tiêm liều lượng dược chất FDG để đảm bảo độ phóng xạ trên mỗi kg cân nặng là không đổi.”

Hai bệnh nhân này lại “cùng cân nặng”. Điều này có nghĩa là hoạt độ phóng xạ của lượng FDG được tiêm vào cơ thể hai bệnh nhân tại thời điểm tiêm phải bằng nhau. Gọi hoạt độ phóng xạ này là \(A_{tiêm}\).

Hai bệnh nhân sử dụng FDG “trong cùng một đợt sản xuất”, tức là FDG của cả hai bệnh nhân đều có cùng nguồn gốc và hằng số phân rã \(\lambda\) (hoặc chu kì bán rã \(T\)) là như nhau. Điều này cũng có nghĩa là tại thời điểm sản xuất, hoạt độ phóng xạ riêng (hoạt độ trên một đơn vị khối lượng) của dược chất là như nhau.

Bệnh nhân hai được tiêm sau bệnh nhân một là 55 phút. Ký hiệu \(\Delta t = 55\) phút.

Bước 3: Đặt ẩn và lập phương trình.

Gọi \(m_1\) là khối lượng FDG tiêm cho bệnh nhân một.

Gọi \(m_2\) là khối lượng FDG tiêm cho bệnh nhân hai.

Hoạt độ phóng xạ \(A\) của một mẫu tỉ lệ thuận với số lượng hạt nhân phóng xạ, và do đó, cũng tỉ lệ thuận với khối lượng \(m\) của chất phóng xạ. Vì hai bệnh nhân sử dụng FDG cùng đợt sản xuất, nên tại thời điểm sản xuất, hoạt độ phóng xạ ban đầu \(A_0\) của một lượng FDG bất kỳ sẽ tỉ lệ thuận với khối lượng \(m\) của lượng FDG đó. Nghĩa là \(A_0 = k \cdot m\), với \(k\) là một hằng số. (Kí hiệu \(A_{0,1}\) là hoạt độ ban đầu của khối lượng \(m_1\), và \(A_{0,2}\) là hoạt độ ban đầu của khối lượng \(m_2\)).

Gọi \(t_{sx}\) là thời điểm sản xuất dược chất FDG (thời điểm \(t=0\)).

Gọi \(t_{tiêm1}\) là thời điểm tiêm cho bệnh nhân một.

Gọi \(t_{tiêm2}\) là thời điểm tiêm cho bệnh nhân hai.

Thời gian từ lúc sản xuất đến khi tiêm cho bệnh nhân một là \(t_1 = t_{tiêm1} – t_{sx}\).

Thời gian từ lúc sản xuất đến khi tiêm cho bệnh nhân hai là \(t_2 = t_{tiêm2} – t_{sx}\).

Theo đề bài, bệnh nhân hai được tiêm sau bệnh nhân một 55 phút, tức là \(t_{tiêm2} – t_{tiêm1} = 55\) phút.
Từ đó, ta có \(t_2 – t_1 = 55\) phút, hay \(t_2 = t_1 + 55\).

Hoạt độ phóng xạ của FDG tiêm cho bệnh nhân một tại thời điểm tiêm là \(A_{tiêm}\). Nó được suy ra từ hoạt độ phóng xạ ban đầu của khối lượng \(m_1\) tại thời điểm sản xuất, kí hiệu là \(A_{0,1}\):

\(A_{tiêm} = A_{0,1} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}}\) (1)

Tương tự, hoạt độ phóng xạ của FDG tiêm cho bệnh nhân hai tại thời điểm tiêm cũng là \(A_{tiêm}\). Nó được suy ra từ hoạt độ phóng xạ ban đầu của khối lượng \(m_2\) tại thời điểm sản xuất, kí hiệu là \(A_{0,2}\):

\(A_{tiêm} = A_{0,2} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{T}}\) (2)

Vì FDG cùng đợt sản xuất, hoạt độ phóng xạ ban đầu \(A_0\) tỉ lệ với khối lượng \(m\). Do đó, ta có mối liên hệ giữa \(A_{0,1}\) và \(A_{0,2}\) như sau:

\(\frac{A_{0,2}}{A_{0,1}} = \frac{m_2}{m_1}\) hay \(A_{0,2} = A_{0,1} \frac{m_2}{m_1}\) (3)

Bước 4: Giải hệ phương trình.

Từ (1) và (2), vì cả hai đều bằng \(A_{tiêm}\), ta có:

\(A_{0,1} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = A_{0,2} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{T}}\)

Thay (3) vào phương trình trên:

\(A_{0,1} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = \left(A_{0,1} \frac{m_2}{m_1}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{T}}\)

Triệt tiêu \(A_{0,1}\) (vì \(A_{0,1} \neq 0\)):

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = \frac{m_2}{m_1} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{T}}\)

Thay \(t_2 = t_1 + 55\) vào:

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = \frac{m_2}{m_1} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1 + 55}{T}}\)

Sử dụng tính chất của lũy thừa \(a^{x+y} = a^x a^y\), ta có \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1 + 55}{T}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}\):

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}\)

Chia cả hai vế cho \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{T}}\) (vì nó khác 0):

\(1 = \frac{m_2}{m_1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}\)

Giải cho tỉ số \(\frac{m_2}{m_1}\):

\(\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{55}{T}}} = \left(\frac{2}{1}\right)^{\frac{55}{T}} = 2^{\frac{55}{T}}\)

Bước 5: Thay số và tính toán.

Đề bài cho chu kì bán rã \(T = 110\) phút.

Thời gian chênh lệch là 55 phút.

\(\frac{m_2}{m_1} = 2^{\frac{55}{110}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\)

Sử dụng máy tính, ta có \(\sqrt{2} \approx 1.41421356\).

Bước 6: Tính phần trăm lượng FDG nhiều hơn.

Phần trăm lượng FDG bệnh nhân hai cần tiêm nhiều hơn bệnh nhân một được tính bằng công thức:

Phần trăm tăng \( = \frac{m_2 – m_1}{m_1} \times 100\%\)

\( = \left(\frac{m_2}{m_1} – 1\right) \times 100\%\)

\( = (\sqrt{2} – 1) \times 100\%\)

\( = (1.41421356 – 1) \times 100\%\)

\( = 0.41421356 \times 100\%\)

\( = 41.421356\%\)

Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần mười:

\(41.4\%\)

Kết luận: Bệnh nhân hai phải tiêm lượng FDG nhiều hơn bệnh nhân một là 41.4%.

Hy vọng qua hai cách giải này, các em đã nắm rõ hơn về cách ứng dụng công thức phân rã phóng xạ vào giải quyết bài toán thực tế!