Chào các em! Cô thấy có một bạn đang “chán quá” với bài toán này đây. Đừng lo, bài toán này tuy trông hơi “dài dòng” nhưng cách giải thì rất thú vị đấy. Chúng ta cùng nhau làm sáng tỏ nó nhé!

Đề bài: Tính giá trị của \(A=sqrt{3+sqrt{3+sqrt{3+sqrt{3+…+sqrt{3}}}}\) với vô hạn căn 3.

Phân tích bài toán:

Nhìn vào biểu thức, chúng ta thấy có một chuỗi các phép khai căn lồng nhau vô hạn. Điều này có nghĩa là phần bên trong mỗi dấu căn bậc hai lại chứa chính biểu thức A đó.

Cách giải:

Chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp quen thuộc cho những bài toán có tính chất lặp lại vô hạn như thế này, đó là đặt biểu thức bằng một biến và tìm mối liên hệ.

Bước 1: Đặt \(A\) bằng chính biểu thức đã cho.

\(A = \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+…+sqrt{3}}}}}\)

Bước 2: Nhận xét cấu trúc lặp lại.

Hãy nhìn kỹ vào bên trong dấu căn bậc hai đầu tiên. Chúng ta thấy có số 3 cộng với một chuỗi căn bậc hai khác. Chuỗi căn bậc hai đó, lại chính là biểu thức A của chúng ta!

Nghĩa là:

\(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+…}}}\) chính là \(A\)

Bước 3: Lập phương trình.

Từ nhận xét ở Bước 2, chúng ta có thể viết lại biểu thức A như sau:

\(A = \sqrt{3 + A}\)

Bước 4: Giải phương trình.

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế để loại bỏ dấu căn:

\(A^2 = (\sqrt{3 + A})^2\)
\(A^2 = 3 + A\)

Bây giờ, chúng ta đưa tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai:

\(A^2 – A – 3 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a=1\), \(b=-1\), và \(c=-3\).

Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm \(A\). Trước hết, tính delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (-1)^2 – 4 \times 1 \times (-3)\)
\(\Delta = 1 + 12\)
\(\Delta = 13\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(A_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(A_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{13}}{2 \times 1}\)
\(A_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)

\(A_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(A_2 = \frac{-(-1) – \sqrt{13}}{2 \times 1}\)
\(A_2 = \frac{1 – \sqrt{13}}{2}\)

Bước 5: Chọn nghiệm phù hợp.

Bây giờ, chúng ta cần xem nghiệm nào là phù hợp với biểu thức A ban đầu. Biểu thức A của chúng ta là một chuỗi các phép khai căn bậc hai của các số dương. Do đó, giá trị của A chắc chắn phải là một số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).

Chúng ta xét hai nghiệm:

Nghiệm thứ nhất: \(A_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\). Vì \(1 > 0\) và \(\sqrt{13} > 0\), nên \(A_1 > 0\). Nghiệm này có vẻ hợp lý.

Nghiệm thứ hai: \(A_2 = \frac{1 – \sqrt{13}}{2}\). Chúng ta biết rằng \(\sqrt{13}\) lớn hơn \(\sqrt{9} = 3\). Do đó, \(1 – \sqrt{13}\) sẽ là một số âm. Vì vậy, \(A_2 < 0\). Nghiệm này không phù hợp với yêu cầu về giá trị của A.

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(A\) là nghiệm dương mà chúng ta tìm được.

\(A = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)

Các em thấy không, bài toán “chán quá” này lại ẩn chứa một phương pháp giải rất thông minh. Quan trọng là chúng ta nhận ra được tính chất lặp lại của nó. Nếu có bài toán nào tương tự, các em hãy thử áp dụng cách này nhé!