Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức đại số khá thú vị và đòi hỏi sự cẩn thận. Bài toán của chúng ta là:

F = \((a + b – c)³ – (a – b – c)³ – (a + b + c)³\)

Khi nhìn vào biểu thức này, có lẽ nhiều em sẽ nghĩ ngay đến việc khai triển từng lũy thừa bậc ba. Tuy nhiên, đó sẽ là một cách làm rất dài và dễ gây nhầm lẫn. Chúng ta hãy tìm cách thông minh hơn nhé!

Bước 1: Phân tích và nhóm các hạng tử

Chúng ta để ý hai hạng tử đầu tiên có dạng \((X)^3 – (Y)^3\). Đây là công thức hiệu hai lập phương rất quen thuộc. Hãy đặt:

\(X = a + b – c\)

\(Y = a – b – c\)

Khi đó, phần đầu của biểu thức F là: \((a + b – c)³ – (a – b – c)³ = X³ – Y³\).

Chúng ta nhớ lại công thức hiệu hai lập phương: \(X³ – Y³ = (X – Y)(X² + XY + Y²)\).

Bước 2: Tính hiệu \(X – Y\)

Chúng ta sẽ tính \(X – Y\) trước vì nó thường đơn giản hơn:

\(X – Y = (a + b – c) – (a – b – c)\)
\(= a + b – c – a + b + c\) (Nhớ đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc sau dấu trừ)
\(= (a – a) + (b + b) + (-c + c)\)
\(= 0 + 2b + 0\)
\(= 2b\)

Thật đơn giản phải không nào?

Bước 3: Tính \(X², Y², XY\)

Đây là bước cần sự cẩn thận. Chúng ta sẽ tính từng phần một:

a) Tính \(X² = (a + b – c)²\)
Chúng ta có thể coi đây là bình phương của một tổng ba số. Công thức tổng quát là \((x+y+z)² = x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx\).
Áp dụng với \(x=a, y=b, z=-c\):
\(X² = a² + b² + (-c)² + 2(a)(b) + 2(b)(-c) + 2(-c)(a)\)
\(X² = a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac\)

b) Tính \(Y² = (a – b – c)²\)
Tương tự, áp dụng công thức với \(x=a, y=-b, z=-c\):
\(Y² = a² + (-b)² + (-c)² + 2(a)(-b) + 2(-b)(-c) + 2(-c)(a)\)
\(Y² = a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac\)

c) Tính \(XY = (a + b – c)(a – b – c)\)
Ở đây, chúng ta có thể nhóm lại để thấy dạng quen thuộc “hiệu hai bình phương”:
\(XY = [(a – c) + b][(a – c) – b]\) (Chúng ta nhóm \((a-c)\) lại)
\(XY = (a – c)² – b²\) (Áp dụng \((P+Q)(P-Q) = P²-Q²\) với \(P = a-c, Q = b\))
\(XY = (a² – 2ac + c²) – b²\)
\(XY = a² – b² + c² – 2ac\)

Bước 4: Tính tổng \(X² + XY + Y²\)

Bây giờ chúng ta sẽ cộng ba kết quả vừa tìm được. Hãy chú ý các dấu để tránh nhầm lẫn nhé!

\(X² + Y² + XY\)
\(= (a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac)\) (Đây là \(X²\))
\(+ (a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac)\) (Đây là \(Y²\))
\(+ (a² – b² + c² – 2ac)\) (Đây là \(XY\))

Ghép các hạng tử đồng dạng:
\(= (a² + a² + a²) + (b² + b² – b²) + (c² + c² + c²)\)
\(+ (2ab – 2ab) + (-2bc + 2bc) + (-2ac – 2ac – 2ac)\)
\(= 3a² + b² + 3c² + 0 + 0 – 6ac\)
\(= 3a² + b² + 3c² – 6ac\)

Bước 5: Thay vào công thức \(X³ – Y³\)

Chúng ta có \(X³ – Y³ = (X – Y)(X² + XY + Y²)\)
Thay kết quả từ Bước 2 và Bước 4 vào:
\(X³ – Y³ = (2b)(3a² + b² + 3c² – 6ac)\)
Nhân phá ngoặc:
\(X³ – Y³ = 2b \cdot 3a² + 2b \cdot b² + 2b \cdot 3c² + 2b \cdot (-6ac)\)
\(X³ – Y³ = 6a²b + 2b³ + 6bc² – 12abc\)

Bước 6: Hoàn thành biểu thức F

Nhớ lại biểu thức ban đầu là \(F = (X³ – Y³) – (a + b + c)³\).
Chúng ta đã tính được \(X³ – Y³\). Vậy:
\(F = (6a²b + 2b³ + 6bc² – 12abc) – (a + b + c)³\)

Đây là một dạng rút gọn khá tốt và thường được chấp nhận ở mức độ này. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu khai triển hoàn toàn, chúng ta sẽ cần khai triển \((a + b + c)³\).

Khai triển \((a + b + c)³\):
Chúng ta có thể khai triển từng bước bằng cách nhóm lại: \([(a+b)+c]³\).
Áp dụng công thức \((P+Q)³ = P³ + 3P²Q + 3PQ² + Q³\) với \(P = (a+b)\) và \(Q = c\):
\((a + b + c)³ = (a+b)³ + 3(a+b)²c + 3(a+b)c² + c³\)
Tiếp tục khai triển \((a+b)³\) và \((a+b)²\):
\(= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) + 3(a² + 2ab + b²)c + 3(ac + bc)c + c³\)
\(= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³\)
Sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự hợp lý hơn:
\(= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy kết quả của \(X³ – Y³\) trừ đi biểu thức vừa khai triển này:

\(F = (6a²b + 2b³ + 6bc² – 12abc)\)
\(- (a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc)\)

Thay đổi dấu của tất cả các hạng tử trong ngoặc thứ hai (vì có dấu trừ phía trước) và sau đó cộng/trừ các hạng tử đồng dạng:

\(F = 6a²b + 2b³ + 6bc² – 12abc\)
\(- a³ – b³ – c³ – 3a²b – 3ab² – 3a²c – 3ac² – 3b²c – 3bc² – 6abc\)

Gộp các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

• Hạng tử bậc ba:
• \(-a³\) (chỉ có một)
• \(2b³ – b³ = b³\)
• \(-c³\) (chỉ có một)
• Hạng tử bậc ba (dạng tích):
• \(6a²b – 3a²b = 3a²b\)
• \(-3ab²\) (chỉ có một)
• \(-3a²c\) (chỉ có một)
• \(-3ac²\) (chỉ có một)
• \(-3b²c\) (chỉ có một)
• \(6bc² – 3bc² = 3bc²\)
• \(-12abc – 6abc = -18abc\)

Vậy, kết quả cuối cùng của chúng ta là:

\(F = -a³ + b³ – c³ + 3a²b – 3ab² – 3a²c – 3ac² – 3b²c + 3bc² – 18abc\)

Đây là một bài toán dài và yêu cầu sự tỉ mỉ rất cao trong từng bước tính toán. Các em hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các phép biến đổi này nhé!

Chúc các em học tốt!