Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về nguyên hàm, một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán 12 của chúng ta. Đề bài của chúng ta như sau:

Cho hàm số \(f(x) = 3x^3 – 2x\). Tìm \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) biết \(F(1) = 3\).

Đây là một dạng bài tập cơ bản nhưng đòi hỏi chúng ta phải nắm vững quy tắc tìm nguyên hàm và cách sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số C. Chúng ta hãy cùng nhau thực hiện từng bước một nhé!

Bước 1: Tìm nguyên hàm tổng quát của \(f(x)\)

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, chúng ta sẽ sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản. Cụ thể ở đây, chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ:

\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (với \(n \neq -1\))

Và công thức nguyên hàm của tổng, hiệu các hàm số:

\(\int (u(x) \pm v(x)) dx = \int u(x) dx \pm \int v(x) dx\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm nguyên hàm của \(f(x) = 3x^3 – 2x\):

\(F(x) = \int (3x^3 – 2x) dx\)

Chúng ta có thể tách thành hai nguyên hàm riêng biệt:

\(F(x) = \int 3x^3 dx – \int 2x dx\)

Áp dụng công thức nguyên hàm cho từng thành phần:

Với \(\int 3x^3 dx\):

\(\int 3x^3 dx = 3 \int x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 = \frac{3}{4}x^4 + C_1\)

Với \(\int 2x dx\): (lưu ý \(x = x^1\))

\(\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2 = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 + C_2\)

Vậy, nguyên hàm tổng quát của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{3}{4}x^4 – x^2 + C\)

Trong đó, \(C\) là hằng số nguyên hàm (được hợp từ \(C_1\) và \(C_2\)).

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(F(1) = 3\) để tìm hằng số \(C\)

Chúng ta đã có dạng tổng quát của \(F(x)\) là \(F(x) = \frac{3}{4}x^4 – x^2 + C\). Giờ chúng ta sẽ dùng thông tin \(F(1) = 3\) để tìm giá trị cụ thể của \(C\).

Thay \(x=1\) vào biểu thức của \(F(x)\):

\(F(1) = \frac{3}{4}(1)^4 – (1)^2 + C\)

\(F(1) = \frac{3}{4} \cdot 1 – 1 + C\)

\(F(1) = \frac{3}{4} – 1 + C\)

\(F(1) = \frac{3}{4} – \frac{4}{4} + C\)

\(F(1) = -\frac{1}{4} + C\)

Theo đề bài, chúng ta biết rằng \(F(1) = 3\). Vậy, chúng ta có phương trình:

\(-\frac{1}{4} + C = 3\)

Giải phương trình để tìm \(C\):

\(C = 3 + \frac{1}{4}\)

\(C = \frac{12}{4} + \frac{1}{4}\)

\(C = \frac{13}{4}\)

Bước 3: Viết biểu thức nguyên hàm \(F(x)\) cụ thể

Sau khi đã tìm được hằng số \(C = \frac{13}{4}\), chúng ta thay giá trị này trở lại vào biểu thức tổng quát của \(F(x)\).

Vậy, nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\) thỏa mãn điều kiện \(F(1) = 3\) là:

\(F(x) = \frac{3}{4}x^4 – x^2 + \frac{13}{4}\)

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài tập này! Đây là một ví dụ điển hình về việc tìm nguyên hàm có điều kiện ban đầu. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.