GẤPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = x ^ 2 + …
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = x ^ 2 + 5y ^ 2 – 2xy + 4y + 3
B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6
Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em tìm giá trị nhỏ nhất của hai biểu thức. Đây là dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 8 và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững phương pháp hoàn thành bình phương.
Chúng ta cùng bắt đầu nhé!
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A = x^2 + 5y^2 – 2xy + 4y + 3\)
Lời giải chi tiết:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương” (hay còn gọi là thêm bớt để tạo thành bình phương của một tổng hoặc hiệu).
Ta có biểu thức:
\(A = x^2 + 5y^2 – 2xy + 4y + 3\)
Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa \(x\) và \(y\) để tạo thành các bình phương.
Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và một phần của \(y\) để tạo thành bình phương của một hiệu theo \(x\).
Ta thấy có \(x^2 – 2xy\). Để tạo thành \((x – y)^2\), ta cần có \(-2xy + y^2\). Vậy ta sẽ tách \(5y^2\) thành \(y^2 + 4y^2\).
\(A = (x^2 – 2xy + y^2) + 4y^2 + 4y + 3\)
\(A = (x – y)^2 + 4y^2 + 4y + 3\)
Bước 2: Hoàn thành bình phương cho phần còn lại chứa \(y\).
Ta có \(4y^2 + 4y + 3\). Đây là một tam thức bậc hai theo \(y\).
Ta viết \(4y^2\) dưới dạng \((2y)^2\). Khi đó \(4y\) sẽ là \(2 \cdot (2y) \cdot 1\).
Để hoàn thành bình phương \((2y + 1)^2\), ta cần thêm \(1^2 = 1\).
Vậy:
\(4y^2 + 4y + 3 = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 – 1^2 + 3\)
\(4y^2 + 4y + 3 = (2y + 1)^2 – 1 + 3\)
\(4y^2 + 4y + 3 = (2y + 1)^2 + 2\)
Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức A.
\(A = (x – y)^2 + (2y + 1)^2 + 2\)
Bước 4: Đánh giá giá trị của A.
Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:
\((x – y)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x, y\).
\((2y + 1)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(y\).
Do đó:
\(A = (x – y)^2 + (2y + 1)^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2\)
\(\Rightarrow A \ge 2\)
Giá trị nhỏ nhất của A là 2.
Bước 5: Xác định khi nào A đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất xảy ra khi và chỉ khi cả hai bình phương bằng 0:
\(x – y = 0 \Rightarrow x = y\)
\(2y + 1 = 0 \Rightarrow 2y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\)
Từ \(x = y\) và \(y = -\frac{1}{2}\), ta suy ra \(x = -\frac{1}{2}\).
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2, đạt được khi \(x = -\frac{1}{2}\) và \(y = -\frac{1}{2}\).
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)\)
Lời giải chi tiết:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, chúng ta sẽ nhóm các thừa số một cách thích hợp để tạo ra một biểu thức chung.
Bước 1: Nhóm các thừa số.
Ta nhận thấy rằng tổng của các hằng số trong một số cặp thừa số có thể bằng nhau:
\((-1) + 6 = 5\)
\(2 + 3 = 5\)
Vậy, ta sẽ nhóm \((x – 1)\) với \((x + 6)\) và \((x + 2)\) với \((x + 3)\).
\(B = [(x – 1)(x + 6)] \cdot [(x + 2)(x + 3)]\)
Bước 2: Nhân các cặp thừa số đã nhóm.
Đối với cặp thứ nhất:
\((x – 1)(x + 6) = x \cdot x + x \cdot 6 – 1 \cdot x – 1 \cdot 6\)
\(= x^2 + 6x – x – 6\)
\(= x^2 + 5x – 6\)
Đối với cặp thứ hai:
\((x + 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3\)
\(= x^2 + 3x + 2x + 6\)
\(= x^2 + 5x + 6\)
Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức B.
\(B = (x^2 + 5x – 6)(x^2 + 5x + 6)\)
Bước 4: Đặt ẩn phụ.
Để đơn giản hóa biểu thức, ta đặt \(t = x^2 + 5x\).
Khi đó, biểu thức B trở thành:
\(B = (t – 6)(t + 6)\)
Bước 5: Rút gọn biểu thức B theo \(t\).
Đây là hằng đẳng thức \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\).
\(B = t^2 – 6^2\)
\(B = t^2 – 36\)
Bước 6: Thay \(t = x^2 + 5x\) trở lại vào biểu thức B.
\(B = (x^2 + 5x)^2 – 36\)
Bước 7: Đánh giá giá trị của B.
Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:
\((x^2 + 5x)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).
Do đó:
\(B = (x^2 + 5x)^2 – 36 \ge 0 – 36\)
\(\Rightarrow B \ge -36\)
Giá trị nhỏ nhất của B là -36.
Bước 8: Xác định khi nào B đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất xảy ra khi và chỉ khi \((x^2 + 5x)^2 = 0\).
Điều này có nghĩa là:
\(x^2 + 5x = 0\)
Ta giải phương trình bậc hai này:
\(x(x + 5) = 0\)
Từ đó suy ra hai trường hợp:
\(x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là -36, đạt được khi \(x = 0\) hoặc \(x = -5\).
Thầy/cô mong rằng với lời giải chi tiết và từng bước rõ ràng như trên, các em đã hiểu rõ cách tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!
Chúc các em học tốt!
\(@\)
\(A = x^2 + 5y^2 – 2xy + 4y + 3\)
\(A = (x^2 – 2xy + y^2) + (4y^2+4y +1) + 2\)
\(A = (x-y)^2 + (2y+1)^2 + 2 \ge 2\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y=-1/2\)
Vậy \(A(min) =2\) khi \(x=y=-1/2\)
\(@\)
\(B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)\)
\(B = [(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]\)
\(B = (x^2+5x-6)(x^2+5x+6)\)
Đặt \(t=x^2+5x\)
\(B = (t-6)(t+6)\)
\(B = t^2 -36 \ge -36\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(t=0\) hay \(x^2 + 5x=0\)
Suy ra \(x=0\) hoặc \(x=-5\)
Vậy \(B(min)=-36\) khi \(x=0; x=-5\)
\(A = x^2 + 5y^2 – 2xy + 4y + 3\)
\(A = x^2 – 2xy + y^2 + 4y^2 + 4y + 1 + 2\)
\(A = ( x – y )^2 + ( 2y + 1 )^2 + 2\)
\(Do ( x – y )^2 >= 0 AA x ; y\)
\(( 2y + 1 )^2 >= 0 AA y\)
\(A = ( x – y )^2 + ( 2y + 1 )^2 + 2 >= 2 AA x ; y\)
\(Dấu = xảy ra: x = y = -1/2\)
\(Vậy A min = 2\) khi \(x = y = -1/2\)
__________________
\(B = ( x – 1)( x + 2 )( x + 3 )( x + 6 )\)
\(B = [ ( x – 1 )( x + 6 ) ][ ( x + 2 )( x + 3 ) ]\)
\(B = ( x^2 + 5x – 6 )( x^2 + 5x + 6 )\)
\(B = ( x^2 + 5x )^2 – 36\)
\(Do ( x^2 + 5x )^2 >= 0 AA x\)
\(B = ( x^2 + 5x )^2 – 36 >= -36 AA x\)
\(Dấu = xảy ra: x^2 + 5x = 0\)
\(x( x + 5 ) = 0\)
\(x = 0 hoặc x = -5\)
\(Vậy B min = -36\) khi \(x in { 0 ; -5 }\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment