Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán quan trọng liên quan đến sai số trong các phép đo và tính toán. Đây là một kiến thức nền tảng giúp các em hiểu rõ hơn về độ chính xác của các kết quả thí nghiệm và tính toán trong môn Vật lý.

Đề bài: Giả sử chiều dài của hai đoạn thẳng có giá trị đo được lần lượt là \( a = 51 \pm 1 \) cm và \( b = 49 \pm 1 \) cm. Trong các đại lượng được tính theo các cách sau đây, đại lượng nào có sai số tuyệt đối lớn nhất?

A: a+b

B: a-b

C: a.b

D: a/b

Phân tích đề bài:

Chúng ta có các giá trị trung bình và sai số tuyệt đối của a và b:

• Giá trị trung bình của a: \( \bar{a} = 51 \) cm
• Sai số tuyệt đối của a: \( \Delta a = 1 \) cm
• Giá trị trung bình của b: \( \bar{b} = 49 \) cm
• Sai số tuyệt đối của b: \( \Delta b = 1 \) cm

Mục tiêu là tìm đại lượng có sai số tuyệt đối lớn nhất.

Các quy tắc tính sai số cần nhớ:

1. Đối với phép cộng và phép trừ (tổng và hiệu):

Nếu đại lượng \( X \) được tính bằng tổng hoặc hiệu của hai đại lượng \( a \) và \( b \) (ví dụ: \( X = a + b \) hoặc \( X = a – b \)), thì sai số tuyệt đối của \( X \) được tính bằng tổng các sai số tuyệt đối của \( a \) và \( b \).

\( \Delta X = \Delta a + \Delta b \)

2. Đối với phép nhân và phép chia (tích và thương):

Nếu đại lượng \( X \) được tính bằng tích hoặc thương của hai đại lượng \( a \) và \( b \) (ví dụ: \( X = a \cdot b \) hoặc \( X = a / b \)), thì sai số tương đối của \( X \) bằng tổng các sai số tương đối của \( a \) và \( b \).

\( \frac{\Delta X}{|X|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} \)

Từ đó, sai số tuyệt đối \( \Delta X \) sẽ là:

\( \Delta X = |X| \cdot \left( \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} \right) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc này cho từng trường hợp:

Trường hợp A: \( X = a+b \)

Giá trị trung bình:

\( \bar{X}_A = \bar{a} + \bar{b} = 51 + 49 = 100 \) cm

Sai số tuyệt đối:

Theo quy tắc 1:

\( \Delta X_A = \Delta a + \Delta b = 1 + 1 = 2 \) cm

Vậy, \( a+b = 100 \pm 2 \) cm.

Trường hợp B: \( X = a-b \)

Giá trị trung bình:

\( \bar{X}_B = \bar{a} – \bar{b} = 51 – 49 = 2 \) cm

Sai số tuyệt đối:

Theo quy tắc 1:

\( \Delta X_B = \Delta a + \Delta b = 1 + 1 = 2 \) cm

Vậy, \( a-b = 2 \pm 2 \) cm.

Trường hợp C: \( X = a \cdot b \)

Giá trị trung bình:

\( \bar{X}_C = \bar{a} \cdot \bar{b} = 51 \cdot 49 = 2499 \) cm²

Sai số tuyệt đối:

Theo quy tắc 2, trước hết ta tính sai số tương đối:

\( \frac{\Delta X_C}{|\bar{X}_C|} = \frac{\Delta a}{|\bar{a}|} + \frac{\Delta b}{|\bar{b}|} = \frac{1}{51} + \frac{1}{49} \)

Tính toán các phân số:

\( \frac{1}{51} \approx 0.0196078 \)

\( \frac{1}{49} \approx 0.0204082 \)

Tổng sai số tương đối:

\( \frac{\Delta X_C}{2499} \approx 0.0196078 + 0.0204082 = 0.040016 \)

Sai số tuyệt đối:

\( \Delta X_C = 2499 \cdot 0.040016 \approx 99.9999 \approx 100 \) cm²

Vậy, \( a \cdot b = 2499 \pm 100 \) cm².

Trường hợp D: \( X = a/b \)

Giá trị trung bình:

\( \bar{X}_D = \bar{a} / \bar{b} = 51 / 49 \approx 1.040816 \)

Sai số tuyệt đối:

Theo quy tắc 2, trước hết ta tính sai số tương đối:

\( \frac{\Delta X_D}{|\bar{X}_D|} = \frac{\Delta a}{|\bar{a}|} + \frac{\Delta b}{|\bar{b}|} = \frac{1}{51} + \frac{1}{49} \)

(Tương tự như trường hợp C, tổng sai số tương đối là khoảng 0.040016)

\( \frac{\Delta X_D}{1.040816} \approx 0.040016 \)

Sai số tuyệt đối:

\( \Delta X_D = 1.040816 \cdot 0.040016 \approx 0.041649 \approx 0.042 \)

Vậy, \( a/b \approx 1.04 \pm 0.04 \) (không có đơn vị vì là tỉ số của hai độ dài).

So sánh các sai số tuyệt đối:

• A: \( \Delta(a+b) = 2 \) cm
• B: \( \Delta(a-b) = 2 \) cm
• C: \( \Delta(a \cdot b) \approx 100 \) cm²
• D: \( \Delta(a/b) \approx 0.04 \) (không đơn vị)

Khi so sánh các giá trị số của sai số tuyệt đối, rõ ràng giá trị 100 là lớn nhất.

Kết luận:

Trong các đại lượng đã tính, đại lượng \( a \cdot b \) có sai số tuyệt đối lớn nhất (khoảng 100).

Do đó, đáp án đúng là C.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn về cách tính toán và so sánh sai số trong các phép tính cơ bản. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong vật lý thực nghiệm đó các em!

Chúc các em học tốt!