Giá trị của biểu thức: B = tan 10° . tan 20° . tan 30° …. tan 80°

Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên đề lượng giác ngày hôm nay. Bài toán tính giá trị của dãy tích các hàm tan từ 10 độ đến 80 độ là một bài toán kinh điển, đòi hỏi các em phải vận dụng linh hoạt các công thức góc phụ nhau và tính chất của hàm số lượng giác.

Để giải quyết bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác, chúng ta cùng thực hiện các bước tư duy sau đây:

Nhận diện đặc điểm của biểu thức:
• Biểu thức bao gồm tích của các giá trị tang của các góc từ 10 độ tăng dần đều mỗi góc 10 độ cho đến 80 độ.
• Cụ thể, biểu thức được viết đầy đủ là tích của: tan 10 độ nhân tan 20 độ nhân tan 30 độ nhân tan 40 độ nhân tan 50 độ nhân tan 60 độ nhân tan 70 độ nhân tan 80 độ.

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản:
• Chúng ta nhớ lại kiến thức lớp 10 và 11 về hai góc phụ nhau (tổng bằng 90 độ): nếu hai góc phụ nhau thì tang của góc này bằng cô-tang của góc kia.
• Cụ thể, ta có công thức: tan(90 độ trừ alpha) bằng cot alpha.
• Bên cạnh đó, ta có mối quan hệ giữa tang và cô-tang của cùng một góc: tích của tan alpha và cot alpha luôn bằng 1. Do đó, tích của tan alpha và tan(90 độ trừ alpha) cũng luôn bằng 1.

Nhóm các thừa số trong biểu thức:
• Ta ghép các cặp góc có tổng bằng 90 độ từ hai đầu dãy vào giữa, cụ thể như sau:
• Cặp thứ nhất: tan 10 độ ghép với tan 80 độ. Vì tan 80 độ bằng cot 10 độ, nên tích này bằng tan 10 độ nhân cot 10 độ và kết quả bằng 1.
• Cặp thứ hai: tan 20 độ ghép với tan 70 độ. Tương tự, ta có tan 70 độ bằng cot 20 độ, nên tích này bằng 1.
• Cặp thứ ba: tan 30 độ ghép với tan 60 độ, kết quả tích bằng 1.
• Cặp thứ tư: tan 40 độ ghép với tan 50 độ, kết quả tích cũng bằng 1.

Tính toán kết quả cuối cùng:
• Sau khi nhóm tất cả các cặp thừa số lại, biểu thức của chúng ta trở thành tích của bốn số 1 nhân với nhau.
• Kết quả cuối cùng của toàn bộ biểu thức là 1 nhân 1 nhân 1 nhân 1 và bằng 1.

Lời khuyên từ giáo viên: Khi gặp các bài toán tính tích hoặc tổng lượng giác có quy luật tăng đều góc như thế này, các em hãy luôn tìm kiếm các cặp góc phụ nhau (tổng bằng 90 độ) hoặc bù nhau (tổng bằng 180 độ) để rút gọn biểu thức một cách tối ưu nhé. Chúc các em học tập thật tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!