Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài:

Hai người thợ làm 1 công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 2 giờ thì tổng số họ làm được là 50% công việc. Hỏi mỗi người nếu làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ xong?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp lập hệ phương trình. Bước đầu tiên và quan trọng nhất là xác định ẩn số của bài toán.

Bước 1: Đặt ẩn số

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm thời gian mỗi người làm một mình để hoàn thành công việc. Vì vậy, chúng ta sẽ đặt:

Gọi \(x\) là thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc (đơn vị: giờ).

Gọi \(y\) là thời gian người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc (đơn vị: giờ).

Lưu ý rằng \(x\) và \(y\) phải là các số dương.

Bước 2: Biểu diễn năng suất của mỗi người

Nếu người thứ nhất làm một mình hết \(x\) giờ để hoàn thành 1 công việc, thì trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \( \frac{1}{x} \) (công việc).

Tương tự, nếu người thứ hai làm một mình hết \(y\) giờ để hoàn thành 1 công việc, thì trong 1 giờ, người thứ hai làm được \( \frac{1}{y} \) (công việc).

Đây chính là năng suất làm việc của mỗi người.

Bước 3: Lập phương trình từ các dữ kiện của bài toán

Chúng ta có hai thông tin quan trọng trong đề bài để lập hai phương trình:

Dữ kiện 1: Hai người thợ làm 1 công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong.

Đầu tiên, chúng ta cần đổi 4 giờ 30 phút ra giờ. 30 phút bằng \( \frac{30}{60} = 0.5 \) giờ. Vậy 4 giờ 30 phút bằng \(4 + 0.5 = 4.5\) giờ.

Nếu hai người cùng làm trong 1 giờ, tổng năng suất của họ là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (công việc/giờ).

Nếu cả hai cùng làm trong 4.5 giờ thì hoàn thành 1 công việc, ta có phương trình:

\( 4.5 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \)

Chia cả hai vế cho 4.5, ta được:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4.5} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} \) (Phương trình 1)

Dữ kiện 2: Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 2 giờ thì tổng số họ làm được là 50% công việc.

50% công việc tương đương với \( \frac{50}{100} = 0.5 = \frac{1}{2} \) công việc.

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \( 3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \) công việc.

Trong 2 giờ, người thứ hai làm được \( 2 \times \frac{1}{y} = \frac{2}{y} \) công việc.

Tổng số công việc họ làm được là \( \frac{3}{x} + \frac{2}{y} \).

Ta có phương trình:

\( \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \) (Phương trình 2)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta đã có hệ phương trình:

1. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{9} \)

2. \( \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

1. \( u + v = \frac{2}{9} \)

2. \( 3u + 2v = \frac{1}{2} \)

Bây giờ, chúng ta giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v\). Chúng ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Sử dụng phương pháp thế:

Từ phương trình (1), ta rút ra: \( v = \frac{2}{9} – u \)

Thế \(v\) vào phương trình (2):

\( 3u + 2\left( \frac{2}{9} – u \right) = \frac{1}{2} \)

\( 3u + \frac{4}{9} – 2u = \frac{1}{2} \)

\( u = \frac{1}{2} – \frac{4}{9} \)

\( u = \frac{9}{18} – \frac{8}{18} \)

\( u = \frac{1}{18} \)

Tìm \(v\) bằng cách thế \(u\) vào biểu thức của \(v\):

\( v = \frac{2}{9} – u = \frac{2}{9} – \frac{1}{18} = \frac{4}{18} – \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \)

Kiểm tra lại bằng phương pháp cộng đại số:

Nhân phương trình (1) với 2:

2. \( 2u + 2v = \frac{4}{9} \)

3. \( 3u + 2v = \frac{1}{2} \)

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1′):

\( (3u + 2v) – (2u + 2v) = \frac{1}{2} – \frac{4}{9} \)

\( u = \frac{9}{18} – \frac{8}{18} = \frac{1}{18} \)

Thế \(u = \frac{1}{18}\) vào phương trình (1):

\( \frac{1}{18} + v = \frac{2}{9} \)

\( v = \frac{2}{9} – \frac{1}{18} = \frac{4}{18} – \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \)

Chúng ta có \( u = \frac{1}{18} \) và \( v = \frac{1}{6} \).

Bước 5: Tìm lại ẩn ban đầu và trả lời câu hỏi

Chúng ta đã đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \).

Với \( u = \frac{1}{18} \), ta có \( \frac{1}{x} = \frac{1}{18} \), suy ra \( x = 18 \).

Với \( v = \frac{1}{6} \), ta có \( \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \), suy ra \( y = 6 \).

Cả hai giá trị \(x = 18\) và \(y = 6\) đều dương, thỏa mãn điều kiện.

Kết luận:

Vậy, người thứ nhất nếu làm công việc đó một mình thì sẽ xong trong 18 giờ.

Người thứ hai nếu làm công việc đó một mình thì sẽ xong trong 6 giờ.

Các em thấy đấy, bằng cách phân tích đề bài cẩn thận, đặt ẩn số hợp lý và lập hệ phương trình chính xác, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!