Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các hệ phương trình chứa căn thức. Đây là dạng bài tập khá thú vị, đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn và kỹ năng biến đổi, rút gọn biểu thức.
Thầy sẽ hướng dẫn các em trình bày chi tiết từng bước nhé!

— Bài 15 —

Giải phương trình: \(\sqrt{x-1}\) + \(\sqrt{4x-4}\) – \(\sqrt{25x-25}\) + 2 = 0

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, ta cần:

• \(x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\)
• \(4x-4 \ge 0 \Rightarrow 4(x-1) \ge 0 \Rightarrow x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\)
• \(25x-25 \ge 0 \Rightarrow 25(x-1) \ge 0 \Rightarrow x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge 1\).

Bước 2: Rút gọn các căn thức.

Ta biến đổi các căn thức để chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn:

• \(\sqrt{4x-4} = \sqrt{4(x-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x-1} = 2\sqrt{x-1}\)
• \(\sqrt{25x-25} = \sqrt{25(x-1)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x-1} = 5\sqrt{x-1}\)

Bước 3: Thay thế vào phương trình và giải.

Thay các biểu thức đã rút gọn vào phương trình ban đầu, ta được:

\(\sqrt{x-1}\) + \(2\sqrt{x-1}\) – \(5\sqrt{x-1}\) + 2 = 0

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\((1 + 2 – 5)\sqrt{x-1}\) + 2 = 0

\(-2\sqrt{x-1}\) + 2 = 0

Chuyển vế và chia cho -2:

\(-2\sqrt{x-1}\) = -2

\(\sqrt{x-1}\) = 1

Bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\((\sqrt{x-1})^2\) = \(1^2\)

\(x-1\) = 1

\(x\) = \(1+1\)

\(x\) = 2

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.

Giá trị \(x=2\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 1\).

Kết luận:

Vậy, phương trình có nghiệm là \(x=2\).

— Bài 17 —

Giải phương trình: \(\sqrt{4x-20}\) – \(\frac{1}{3}\) \(\sqrt{9x-45}\) + \(\sqrt{x-5}\) = 4

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, ta cần:

• \(4x-20 \ge 0 \Rightarrow 4(x-5) \ge 0 \Rightarrow x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)
• \(9x-45 \ge 0 \Rightarrow 9(x-5) \ge 0 \Rightarrow x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)
• \(x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge 5\).

Bước 2: Rút gọn các căn thức.

Ta biến đổi các căn thức để chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn:

• \(\sqrt{4x-20} = \sqrt{4(x-5)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x-5} = 2\sqrt{x-5}\)
• \(\sqrt{9x-45} = \sqrt{9(x-5)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x-5} = 3\sqrt{x-5}\)

Bước 3: Thay thế vào phương trình và giải.

Thay các biểu thức đã rút gọn vào phương trình ban đầu, ta được:

\(2\sqrt{x-5}\) – \(\frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{x-5})\) + \(\sqrt{x-5}\) = 4

\(2\sqrt{x-5}\) – \(\sqrt{x-5}\) + \(\sqrt{x-5}\) = 4

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\((2 – 1 + 1)\sqrt{x-5}\) = 4

\(2\sqrt{x-5}\) = 4

Chia cả hai vế cho 2:

\(\sqrt{x-5}\) = 2

Bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\((\sqrt{x-5})^2\) = \(2^2\)

\(x-5\) = 4

\(x\) = \(4+5\)

\(x\) = 9

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.

Giá trị \(x=9\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 5\).

Kết luận:

Vậy, phương trình có nghiệm là \(x=9\).

— Bài 19 —

Giải phương trình: 3\(\sqrt{4x+4}\) – \(\sqrt{9x+9}\) – 8 \(\sqrt{\frac{x+1}{16}}\) = 5

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, ta cần:

• \(4x+4 \ge 0 \Rightarrow 4(x+1) \ge 0 \Rightarrow x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\)
• \(9x+9 \ge 0 \Rightarrow 9(x+1) \ge 0 \Rightarrow x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\)
• \(\frac{x+1}{16} \ge 0 \Rightarrow x+1 \ge 0\) (vì 16 > 0) \(\Rightarrow x \ge -1\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge -1\).

Bước 2: Rút gọn các căn thức.

Ta biến đổi các căn thức để chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn:

• \(\sqrt{4x+4} = \sqrt{4(x+1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x+1} = 2\sqrt{x+1}\)
• \(\sqrt{9x+9} = \sqrt{9(x+1)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x+1} = 3\sqrt{x+1}\)
• \(\sqrt{\frac{x+1}{16}} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{x+1}}{4}\)

Bước 3: Thay thế vào phương trình và giải.

Thay các biểu thức đã rút gọn vào phương trình ban đầu, ta được:

3 \((2\sqrt{x+1})\) – \(3\sqrt{x+1}\) – 8 \(\left(\frac{\sqrt{x+1}}{4}\right)\) = 5

\(6\sqrt{x+1}\) – \(3\sqrt{x+1}\) – \(2\sqrt{x+1}\) = 5

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\((6 – 3 – 2)\sqrt{x+1}\) = 5

\(1\sqrt{x+1}\) = 5

\(\sqrt{x+1}\) = 5

Bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\((\sqrt{x+1})^2\) = \(5^2\)

\(x+1\) = 25

\(x\) = \(25-1\)

\(x\) = 24

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.

Giá trị \(x=24\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge -1\).

Kết luận:

Vậy, phương trình có nghiệm là \(x=24\).

— Bài 20 —

Giải phương trình: \(\sqrt{9x-45}\) – \(\sqrt{x-5}\) = 4 – \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{4x-20}\)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, ta cần:

• \(9x-45 \ge 0 \Rightarrow 9(x-5) \ge 0 \Rightarrow x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)
• \(x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)
• \(4x-20 \ge 0 \Rightarrow 4(x-5) \ge 0 \Rightarrow x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge 5\).

Bước 2: Rút gọn các căn thức.

Ta biến đổi các căn thức để chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn:

• \(\sqrt{9x-45} = \sqrt{9(x-5)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x-5} = 3\sqrt{x-5}\)
• \(\sqrt{4x-20} = \sqrt{4(x-5)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x-5} = 2\sqrt{x-5}\)

Bước 3: Thay thế vào phương trình và giải.

Thay các biểu thức đã rút gọn vào phương trình ban đầu, ta được:

\(3\sqrt{x-5}\) – \(\sqrt{x-5}\) = 4 – \(\frac{1}{2}\) \((2\sqrt{x-5})\)

\(3\sqrt{x-5}\) – \(\sqrt{x-5}\) = 4 – \(\sqrt{x-5}\)

Chuyển tất cả các hạng tử chứa căn về một vế và các hằng số về vế còn lại:

\(3\sqrt{x-5}\) – \(\sqrt{x-5}\) + \(\sqrt{x-5}\) = 4

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\((3 – 1 + 1)\sqrt{x-5}\) = 4

\(3\sqrt{x-5}\) = 4

Chia cả hai vế cho 3:

\(\sqrt{x-5}\) = \(\frac{4}{3}\)

Bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\((\sqrt{x-5})^2\) = \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\)

\(x-5\) = \(\frac{16}{9}\)

\(x\) = \(5 + \frac{16}{9}\)

Quy đồng mẫu số và cộng:

\(x\) = \(\frac{45}{9} + \frac{16}{9}\)

\(x\) = \(\frac{61}{9}\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.

Giá trị \(x=\frac{61}{9}\). Ta có \(\frac{61}{9} = 6 + \frac{7}{9}\), rõ ràng thỏa mãn điều kiện \(x \ge 5\).

Kết luận:

Vậy, phương trình có nghiệm là \(x=\frac{61}{9}\).

Thầy hy vọng qua các bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải các phương trình chứa căn thức dạng này. Hãy nhớ luôn thực hiện đầy đủ các bước: tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức, giải phương trình và kiểm tra lại nghiệm nhé!
Chúc các em học tốt!