Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và thực hành giải các hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng đại số. Đây là một phương pháp rất hiệu quả để tìm nghiệm của hệ phương trình hai ẩn.

Nguyên tắc của phương pháp này là biến đổi hệ phương trình sao cho khi cộng (hoặc trừ) từng vế của hai phương trình, chúng ta sẽ loại bỏ được một ẩn và chỉ còn lại một phương trình với một ẩn duy nhất. Sau đó, ta giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của ẩn, rồi thay vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.

Chúng ta hãy cùng giải hai bài tập sau nhé!

Bài giải:

Bài 1:

Giải hệ phương trình sau:

\(\left \{ {{2x+2y=3} \atop {3x-2y=2}} \right.\)

Hướng dẫn:

Quan sát hệ phương trình này, các em có nhận thấy điều gì đặc biệt về các hệ số của ẩn \(y\) không?

Ở phương trình thứ nhất, hệ số của \(y\) là \(+2\). Ở phương trình thứ hai, hệ số của \(y\) là \(-2\). Chúng là hai số đối nhau! Điều này rất thuận lợi cho phương pháp cộng đại số, vì khi ta cộng hai phương trình lại với nhau, ẩn \(y\) sẽ tự động được triệt tiêu.

Bước 1: Cộng hai phương trình của hệ.

Ta có:

\((2x+2y) + (3x-2y) = 3 + 2\)

Thực hiện phép cộng các hạng tử đồng dạng:

\((2x+3x) + (2y-2y) = 5\)

\(5x + 0y = 5\)

\(5x = 5\)

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được.

Từ \(5x = 5\), ta dễ dàng tìm được \(x\):

\(x = \frac{5}{5}\)

\(x = 1\)

Bước 3: Thay giá trị của \(x\) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(y\).

Thầy sẽ chọn phương trình thứ nhất: \(2x+2y=3\).

Thay \(x=1\) vào phương trình này:

\(2(1) + 2y = 3\)

\(2 + 2y = 3\)

Chuyển số hạng tự do sang vế phải:

\(2y = 3 – 2\)

\(2y = 1\)

\(y = \frac{1}{2}\)

Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là cặp số \((x; y) = (1; \frac{1}{2})\).

Bài 2:

Giải hệ phương trình sau:

\(\left \{ {{4x-3y-15=0} \atop {4x+y=19}} \right.\)

Hướng dẫn:

Trước hết, chúng ta nên đưa các phương trình về dạng chuẩn, tức là các hạng tử chứa ẩn ở một vế và hằng số ở vế còn lại. Phương trình thứ nhất có \(-15\) ở vế trái, ta sẽ chuyển nó sang vế phải.

Hệ phương trình trở thành:

\(\left \{ {{4x-3y=15} \atop {4x+y=19}} \right.\)

Bây giờ, hãy quan sát hệ số của ẩn \(x\). Cả hai phương trình đều có hệ số của \(x\) là \(+4\). Khi các hệ số giống nhau, chúng ta sẽ thực hiện phép trừ hai phương trình để loại bỏ ẩn đó.

Bước 1: Trừ hai phương trình của hệ.

Thầy sẽ lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai:

\((4x-3y) – (4x+y) = 15 – 19\)

Cẩn thận với dấu trừ khi phá ngoặc nhé:

\(4x – 3y – 4x – y = -4\)

Thực hiện phép trừ các hạng tử đồng dạng:

\((4x-4x) + (-3y-y) = -4\)

\(0x – 4y = -4\)

\(-4y = -4\)

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được.

Từ \(-4y = -4\), ta tìm được \(y\):

\(y = \frac{-4}{-4}\)

\(y = 1\)

Bước 3: Thay giá trị của \(y\) vào một trong hai phương trình ban đầu (hoặc đã biến đổi) để tìm \(x\).

Thầy sẽ chọn phương trình thứ hai: \(4x+y=19\).

Thay \(y=1\) vào phương trình này:

\(4x + 1 = 19\)

Chuyển số hạng tự do sang vế phải:

\(4x = 19 – 1\)

\(4x = 18\)

\(x = \frac{18}{4}\)

Rút gọn phân số:

\(x = \frac{9}{2}\)

Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là cặp số \((x; y) = (\frac{9}{2}; 1)\).

Các em nhớ luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững phương pháp cộng đại số này nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy!