Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài toán về phương trình. Đây là những dạng bài rất quan trọng, thường gặp trong các kì thi. Thầy sẽ hướng dẫn các em trình bày chi tiết từng bước một, các em chú ý theo dõi nhé!

—

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a) \(2x^4 + 3x^2 – 5 = 0\)

Đây là dạng phương trình trùng phương. Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải:

Chúng ta đặt \(y = x^2\).

Vì \(x^2 \ge 0\) với mọi \(x\), nên điều kiện của \(y\) là \(y \ge 0\).

Khi đó, phương trình ban đầu trở thành:

\(2y^2 + 3y – 5 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \(y\). Chúng ta có thể giải bằng cách dùng công thức nghiệm, hoặc phân tích thành nhân tử. Thầy sẽ phân tích thành nhân tử ở đây:

\(2y^2 – 2y + 5y – 5 = 0\)

\(2y(y – 1) + 5(y – 1) = 0\)

\((y – 1)(2y + 5) = 0\)

Từ đây, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1\)

Trường hợp 2: \(2y + 5 = 0 \Rightarrow 2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}\)

Bây giờ, chúng ta kiểm tra điều kiện \(y \ge 0\):

– Giá trị \(y = 1\) thỏa mãn điều kiện \(y \ge 0\).

– Giá trị \(y = -\frac{5}{2}\) không thỏa mãn điều kiện \(y \ge 0\), nên chúng ta loại giá trị này.

Với \(y = 1\), chúng ta thay lại vào cách đặt ban đầu: \(x^2 = y\)

\(x^2 = 1\)

\(\Rightarrow x = \sqrt{1}\) hoặc \(x = -\sqrt{1}\)

\(\Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = -1\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(\mathbf{S = \{ -1; 1 \}}\).

—

b) \(x^4 – 8x^3 – 9x^2 = 0\)

Đối với phương trình này, các em hãy quan sát kĩ các hạng tử. Chúng ta thấy rằng tất cả các hạng tử đều có chứa \(x\) với số mũ khác nhau. Điều này gợi ý cho chúng ta phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải:

Nhận thấy rằng tất cả các hạng tử đều có nhân tử chung là \(x^2\). Chúng ta sẽ đặt \(x^2\) làm nhân tử chung:

\(x^2(x^2 – 8x – 9) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0. Vậy chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x^2 = 0\)

\(\Rightarrow x = 0\) (Đây là nghiệm kép)

Trường hợp 2: \(x^2 – 8x – 9 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Thầy sẽ phân tích thành nhân tử:

\(x^2 + x – 9x – 9 = 0\)

\(x(x + 1) – 9(x + 1) = 0\)

\((x + 1)(x – 9) = 0\)

Từ đây, chúng ta lại có hai trường hợp nhỏ hơn:

– \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

– \(x – 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)

Vậy, kết hợp tất cả các nghiệm mà chúng ta tìm được, tập nghiệm của phương trình là \(\mathbf{S = \{ -1; 0; 9 \}}\).

—

c) \(x^3 – 4x^2 + 4 – x = 0\)

Phương trình này là một phương trình bậc ba. Khi gặp các phương trình bậc ba hoặc bậc bốn mà không có dạng đặc biệt (như trùng phương), chúng ta thường cố gắng đưa về dạng tích các nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.

Lời giải:

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại với nhau để tìm nhân tử chung:

\(x^3 – 4x^2 – x + 4 = 0\) (Thầy đã sắp xếp lại các hạng tử)

Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau:

\((x^3 – 4x^2) – (x – 4) = 0\)

(Lưu ý dấu trừ ở giữa hai nhóm, khi đặt dấu trừ ra ngoài, các hạng tử bên trong phải đổi dấu)

Trong nhóm đầu, đặt \(x^2\) làm nhân tử chung:

\(x^2(x – 4) – 1(x – 4) = 0\)

Bây giờ, chúng ta thấy có nhân tử chung là \((x – 4)\). Đặt \((x – 4)\) ra ngoài:

\((x – 4)(x^2 – 1) = 0\)

Chúng ta thấy \((x^2 – 1)\) là một hằng đẳng thức đáng nhớ: hiệu hai bình phương (\(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\)).

Nên \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\).

Vậy, phương trình trở thành:

\((x – 4)(x – 1)(x + 1) = 0\)

Để tích này bằng 0, ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0:

– \(x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)

– \(x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

– \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(\mathbf{S = \{ -1; 1; 4 \}}\).

—

d) \(x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x – 12 = 0\)

Đây là một phương trình bậc bốn tổng quát. Với những phương trình như thế này, chúng ta thường thử các nghiệm nguyên là các ước của hệ số tự do (số không chứa x). Ở đây, hệ số tự do là -12.

Lời giải:

Các ước của -12 là \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Chúng ta sẽ thử từng giá trị:

Thử với \(x = 1\):

\(1^4 + 2(1)^3 + 5(1)^2 + 4(1) – 12 = 1 + 2 + 5 + 4 – 12 = 12 – 12 = 0\)

Vậy, \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình. Điều này có nghĩa là \((x – 1)\) là một nhân tử của đa thức.

Thử với \(x = -2\):

\((-2)^4 + 2(-2)^3 + 5(-2)^2 + 4(-2) – 12\)

\(= 16 + 2(-8) + 5(4) – 8 – 12\)

\(= 16 – 16 + 20 – 8 – 12\)

\(= 0 + 20 – 20 = 0\)

Vậy, \(x = -2\) cũng là một nghiệm của phương trình. Điều này có nghĩa là \((x + 2)\) là một nhân tử của đa thức.

Vì \((x – 1)\) và \((x + 2)\) đều là nhân tử, nên tích của chúng \((x – 1)(x + 2) = x^2 + x – 2\) cũng là nhân tử của đa thức ban đầu.

Bây giờ, chúng ta sẽ chia đa thức \(x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x – 12\) cho \(x^2 + x – 2\). Các em có thể thực hiện phép chia đa thức như bình thường. Thầy sẽ trình bày kết quả phép chia ở đây:

\((x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x – 12) \div (x^2 + x – 2) = x^2 + x + 6\)

Vậy, phương trình ban đầu có thể viết lại dưới dạng:

\((x – 1)(x + 2)(x^2 + x + 6) = 0\)

Để tích này bằng 0, ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0:

– \(x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

– \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

– \(x^2 + x + 6 = 0\)

Với phương trình bậc hai \(x^2 + x + 6 = 0\), chúng ta sẽ tính Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(1)(6) = 1 – 24 = -23\)

Vì \(\Delta < 0\), phương trình bậc hai này vô nghiệm trong tập số thực. Vậy, phương trình ban đầu chỉ có hai nghiệm thực mà chúng ta đã tìm được. Tập nghiệm của phương trình là \(\mathbf{S = \{ -2; 1 \}}\).

—

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải và trình bày các dạng phương trình này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!

Chúc các em học tốt!