Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải các phương trình bậc hai một ẩn. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Thầy/Cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết từng bài bằng cách sử dụng công thức nghiệm, đảm bảo các em có thể hiểu rõ từng bước nhé!

Để giải phương trình bậc hai có dạng tổng quát \(ax^2 + bx + c = 0\) (với \(a \neq 0\)), chúng ta thường thực hiện các bước sau:

1. Xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\).
2. Tính biệt thức \(\Delta = b^2 – 4ac\).
3. Dựa vào giá trị của \(\Delta\):
   • Nếu \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\).
   • Nếu \(\Delta = 0\), phương trình có nghiệm kép: \(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\).
   • Nếu \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm (trong tập số thực).

Bây giờ, chúng ta cùng giải từng phương trình một nhé!

a) Giải phương trình: \(3x^2 – 11x + 6 = 0\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với:
\(a = 3\)
\(b = -11\)
\(c = 6\)

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (-11)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 6\)
\(\Delta = 121 – 72\)
\(\Delta = 49\)

Bước 3: Vì \(\Delta = 49 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7\)

Áp dụng công thức nghiệm:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-11) + 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3\)
\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-11) – 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 – 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{3; \frac{2}{3}\right\}\).

b) Giải phương trình: \(-2x^2 + 5x – 3 = 0\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với:
\(a = -2\)
\(b = 5\)
\(c = -3\)

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (5)^2 – 4 \cdot (-2) \cdot (-3)\)
\(\Delta = 25 – 24\)
\(\Delta = 1\)

Bước 3: Vì \(\Delta = 1 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1\)

Áp dụng công thức nghiệm:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1\)
\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – 1}{2 \cdot (-2)} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{1; \frac{3}{2}\right\}\).

c) Giải phương trình: \(x^2 + 2x – 3 = 0\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với:
\(a = 1\)
\(b = 2\)
\(c = -3\)

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3)\)
\(\Delta = 4 + 12\)
\(\Delta = 16\)

Bước 3: Vì \(\Delta = 16 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4\)

Áp dụng công thức nghiệm:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 – 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3\)

Lưu ý nhỏ: Đối với phương trình này, ta có thể nhận thấy \(a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0\). Khi \(a + b + c = 0\), phương trình luôn có một nghiệm là \(x_1 = 1\) và nghiệm còn lại là \(x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3\). Đây là một mẹo nhỏ để giải nhanh hơn trong một số trường hợp đặc biệt nhé các em!

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{1; -3\right\}\).

d) Giải phương trình: \(x^2 – 4x – 5 = 0\)

Bước 1: Xác định các hệ số.
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với:
\(a = 1\)
\(b = -4\)
\(c = -5\)

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5)\)
\(\Delta = 16 + 20\)
\(\Delta = 36\)

Bước 3: Vì \(\Delta = 36 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6\)

Áp dụng công thức nghiệm:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) – 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 – 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)

Lưu ý nhỏ: Tương tự như câu c, phương trình này cũng có một trường hợp đặc biệt: \(a – b + c = 1 – (-4) + (-5) = 1 + 4 – 5 = 0\). Khi \(a – b + c = 0\), phương trình luôn có một nghiệm là \(x_1 = -1\) và nghiệm còn lại là \(x_2 = -\frac{c}{a} = – \frac{-5}{1} = 5\). Rất nhanh chóng phải không nào?

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{5; -1\right\}\).

Thầy/Cô hy vọng qua phần trình bày chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải các phương trình bậc hai. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!