Xin chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về dao động điều hòa, cụ thể là tính toán công của lực hồi phục. Bài toán yêu cầu chúng ta xem xét một vật dao động với phương trình cho trước và tìm khoảng thời gian mà lực hồi phục sinh công âm.

Các em hãy đọc kỹ đề bài nhé:
“Một vật dao động theo phương trình x = 20cos(5.pi.t/3 – pi / 6) (cm; s). Kể từ lúc t = 0 đến lúc vật qua li độ -10 cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì lực hồi phục sinh công âm trong khoảng thời gian là
A. 2013,08 s
B. 1207,88 s
C. 1207,4 s
D. 2415,8 s.”

Chúng ta sẽ giải bài này một cách chi tiết từng bước.

Bước 1: Xác định các thông số của dao động

Phương trình dao động của vật có dạng: \(x = A\cos(\omega t + \phi)\)
Trong đề bài, ta có phương trình: \(x = 20\cos(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6})\) (cm; s).

Từ đây, chúng ta suy ra các thông số:
– Biên độ dao động: \(A = 20\) cm.
– Tần số góc: \(\omega = \frac{5\pi}{3}\) rad/s.
– Pha ban đầu: \(\phi = -\frac{\pi}{6}\) rad.

Chu kỳ dao động: \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{5\pi}{3}} = \frac{6}{5} = 1,2\) s.

Bước 2: Phân tích điều kiện “lực hồi phục sinh công âm”

Lực hồi phục trong dao động điều hòa có biểu thức: \(F = -kx\), trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo (\(k = m\omega^2\)).
Công của lực hồi phục trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) được tính bằng \(W_F = \int_{t_1}^{t_2} F \cdot v \cdot dt\).

Ta biết \(v = \frac{dx}{dt}\).
Do đó, \(W_F = \int_{t_1}^{t_2} (-kx) \cdot (\frac{dx}{dt}) \cdot dt = \int_{x_1}^{x_2} -kx \cdot dx = -\frac{1}{2}k(x_2^2 – x_1^2)\).

Để lực hồi phục sinh công âm, ta cần \(W_F < 0\). Điều này có nghĩa là \(-\frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2) < 0\). Vì \(k > 0\), nên \(x_2^2 – x_1^2 > 0\), tức là \(x_2^2 > x_1^2\).

Điều kiện \(x_2^2 > x_1^2\) xảy ra khi vật di chuyển từ vị trí gần vị trí cân bằng ra xa vị trí cân bằng, hoặc từ vị trí cách biên này sang vị trí cách biên kia mà khoảng cách đó lớn hơn.

Một cách trực quan hơn:
– Lực hồi phục luôn hướng về vị trí cân bằng (\(x=0\)).
– Vận tốc \(v = \frac{dx}{dt}\).
– Công \(W = \int F \cdot ds\).

Lực hồi phục sinh công âm khi lực hồi phục và vận tốc ngược chiều nhau.
– Nếu vật đang đi ra xa vị trí cân bằng (\(v > 0\) khi \(x > 0\) hoặc \(v < 0\) khi \(x < 0\)), thì \(F\) và \(v\) ngược chiều. - Khi \(x > 0\), \(F < 0\). Nếu \(v > 0\) (đi ra xa), \(F \cdot v < 0\). - Khi \(x < 0\), \(F > 0\). Nếu \(v < 0\) (đi ra xa), \(F \cdot v < 0\). - Nếu vật đang đi về vị trí cân bằng (\(v < 0\) khi \(x > 0\) hoặc \(v > 0\) khi \(x < 0\)), thì \(F\) và \(v\) cùng chiều. - Khi \(x > 0\), \(F < 0\). Nếu \(v < 0\) (đi về gần), \(F \cdot v > 0\).
– Khi \(x < 0\), \(F > 0\). Nếu \(v > 0\) (đi về gần), \(F \cdot v > 0\).

Vậy, lực hồi phục sinh công âm khi vật đi ra xa vị trí cân bằng. Điều này xảy ra ở hai nửa chu kỳ:
1. Khi vật ở phần dương của trục tọa độ (\(x > 0\)) và chuyển động theo chiều dương (\(v > 0\)).
2. Khi vật ở phần âm của trục tọa độ (\(x < 0\)) và chuyển động theo chiều âm (\(v < 0\)).

Bước 3: Tìm thời điểm vật qua li độ -10 cm theo chiều âm

Ta có \(x = -10\) cm.
\(-10 = 20\cos(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6})\)
\(\cos(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\)

Các góc có cosin bằng \(-\frac{1}{2}\) là \(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) và \(\frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), với \(k\) là số nguyên.

Trường hợp 1: \(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)
\(\frac{5\pi t}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{4\pi + \pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
\(t = \frac{6}{5\pi} (\frac{5\pi}{6} + 2k\pi) = 1 + \frac{12k}{5}\)

Trường hợp 2: \(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)
\(\frac{5\pi t}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{8\pi + \pi}{6} + 2k\pi = \frac{9\pi}{6} + 2k\pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\)
\(t = \frac{6}{5\pi} (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi) = \frac{9}{5} + \frac{12k}{5} = 1,8 + 2,4k\)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra chiều chuyển động của vật tại các thời điểm này. Vận tốc của vật là đạo hàm của li độ theo thời gian:
\(v = \frac{dx}{dt} = -20 \cdot \frac{5\pi}{3} \sin(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6})\)
\(v = -\frac{100\pi}{3} \sin(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6})\)

Khi \(\cos(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\) và vật qua li độ \(x = -10\) cm theo chiều âm, ta cần \(v < 0\). Điều này có nghĩa là \(\sin(\frac{5\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})\) phải dương (vì hệ số \(-\frac{100\pi}{3}\) là âm). Xét các pha tương ứng: - Nếu \(\frac{5\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), thì \(\sin(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\). Đây là trường hợp vật đi theo chiều âm.
Thời điểm: \(t = 1 + \frac{12k}{5}\). Với \(k=0\), \(t = 1\) s. Tại \(t=1\), pha là \(\frac{5\pi}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi – \pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\). \(x = 20\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0\). Đây không phải là \(x = -10\). Kiểm tra lại:
Pha \(\frac{2\pi}{3}\) ứng với \(\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\). \(\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Thời điểm \(t = 1 + \frac{12k}{5}\).
Với \(k=0\), \(t = 1\). Pha là \(\frac{5\pi}{3}(1) – \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi – \pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\). \(x = 20\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0\).
Trong trường hợp này, ta đang giải phương trình \(\cos(\alpha) = -1/2\).
Ta tìm các giá trị pha \(\alpha\) mà \(\cos(\alpha) = -1/2\).
Các giá trị này là \(\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) và \(\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\).

Khi \(\alpha = \frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6}\):
– Nếu \(\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\): \(\sin(\alpha) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\). Vận tốc \(v = -\frac{100\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Đây là chuyển động theo chiều âm. \(\frac{5\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies t = 1 + \frac{12k}{5}\). Các thời điểm \(t = 1, 3.4, 5.8, ...\) (với \(k=0, 1, 2, ...\)) - Nếu \(\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\): \(\sin(\alpha) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Vận tốc \(v = -\frac{100\pi}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) > 0\). Đây là chuyển động theo chiều dương.
\(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies t = 1.8 + 2.4k\).
Các thời điểm \(t = 1.8, 4.2, 6.6, …\) (với \(k=0, 1, 2, …\))

Vậy, các thời điểm vật qua li độ \(-10\) cm theo chiều âm là \(t = 1 + \frac{12k}{5}\) với \(k = 0, 1, 2, …\).
Lần lượt các thời điểm này là: \(1, 3.4, 5.8, 8.2, …\)

Bước 4: Xác định thời điểm vật bắt đầu dao động và thời điểm nó qua li độ -10 cm theo chiều âm lần thứ 2013

Lúc \(t = 0\), pha ban đầu là \(\phi = -\frac{\pi}{6}\).
\(x(0) = 20\cos(-\frac{\pi}{6}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32\) cm.
\(v(0) = -\frac{100\pi}{3} \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{100\pi}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{50\pi}{3} > 0\).
Tại \(t=0\), vật ở vị trí \(10\sqrt{3}\) cm và đang chuyển động theo chiều dương.

Ta cần tìm thời điểm \(t_{2013}\) vật qua li độ \(-10\) cm theo chiều âm lần thứ 2013.
Các thời điểm này có dạng \(t_k = 1 + \frac{12k}{5}\), với \(k\) là chỉ số của lần đi qua.
Để xác định \(k\) tương ứng với lần thứ 2013, ta cần xem xét số lần vật đã đi qua vị trí -10 cm theo chiều âm kể từ \(t=0\).

Tại \(t=0\), \(x = 10\sqrt{3}\). Vật đang đi theo chiều dương.
Vật sẽ đi từ \(10\sqrt{3}\) đến \(20\), rồi về \(-20\), rồi về \(0\), rồi về \(-10\).
Đường đi từ \(t=0\) đến lần đầu tiên qua \(x=-10\) theo chiều âm:
Ban đầu \(x \approx 17.32\), \(v > 0\).
Vật đi đến \(A=20\).
Sau đó đi về \(-A = -20\). Trong quá trình này, vật sẽ qua \(x=0\), \(x=-10\).
Khi vật đi từ \(x=0\) đến \(x=-10\), thì \(x < 0\) và \(v < 0\), tức là đi theo chiều âm. Khi vật đi từ \(x=-10\) đến \(x=-20\), thì \(x < 0\) và \(v < 0\), tức là đi theo chiều âm. Chúng ta cần tính thời gian để vật đi từ pha ban đầu \(\phi = -\frac{\pi}{6}\) đến pha ứng với lần thứ 2013 qua li độ \(-10\) cm theo chiều âm. Pha \(\alpha = \frac{5\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\). Tại \(t=0\), \(\alpha = -\frac{\pi}{6}\). Khi vật qua \(x=-10\) theo chiều âm, pha \(\alpha\) thỏa mãn \(\cos(\alpha) = -1/2\) và \(\sin(\alpha) > 0\).
Các pha thỏa mãn là \(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\).

Ta cần xác định xem pha ban đầu \(\phi = -\frac{\pi}{6}\) đã vượt qua pha \(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) nào chưa.
\(-\frac{\pi}{6}\) tương đương \(-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}\) nếu xét trong một chu kỳ dương.
So sánh \(\frac{11\pi}{6}\) với các pha \(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\).

– Với \(k=0\): pha là \(\frac{2\pi}{3}\).
Pha ban đầu là \(\frac{11\pi}{6}\) (hoặc \(\frac{23\pi}{6}\) nếu xét xa hơn).
\(\frac{11\pi}{6}\) lớn hơn \(\frac{2\pi}{3}\).
Trong chu kỳ đầu tiên (từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến pha \(-\frac{\pi}{6} + 2\pi\)), vật sẽ đi qua pha \(\frac{2\pi}{3}\).
Ta có thể xem xét vòng tròn lượng giác. Pha ban đầu là \(\frac{11\pi}{6}\) (tương đương 330 độ).
Pha cần đến là \(\frac{2\pi}{3}\) (tương đương 120 độ).
Để đi từ pha \(\frac{11\pi}{6}\) đến pha \(\frac{2\pi}{3}\) (lần đầu tiên), vật phải đi hết vòng và đến \(\frac{2\pi}{3}\).
Hoặc, vật đi từ \(\frac{11\pi}{6}\) đến \(2\pi\), rồi từ \(0\) đến \(\frac{2\pi}{3}\).
Thời gian để đi từ pha \(\phi_1\) đến pha \(\phi_2\) là \(\Delta t = \frac{|\phi_2 – \phi_1|}{\omega}\).

Pha ban đầu \(-\frac{\pi}{6}\). Vật bắt đầu chuyển động.
Lần thứ nhất vật qua \(x=-10\) theo chiều âm ứng với pha \(\frac{2\pi}{3}\).
Thời gian để đi từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến pha \(\frac{2\pi}{3}\) là:
\(\Delta \phi_1 = \frac{2\pi}{3} – (-\frac{\pi}{6}) = \frac{4\pi + \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\).
Thời điểm \(t_1 = \frac{\Delta \phi_1}{\omega} = \frac{5\pi/6}{5\pi/3} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{3}{5\pi} = \frac{1}{2} = 0.5\) s.
Kiểm tra: \(x(0.5) = 20\cos(\frac{5\pi}{3} \cdot 0.5 – \frac{\pi}{6}) = 20\cos(\frac{5\pi}{6} – \frac{\pi}{6}) = 20\cos(\frac{4\pi}{6}) = 20\cos(\frac{2\pi}{3}) = 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = -10\) cm.
\(v(0.5) = -\frac{100\pi}{3} \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{100\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Vậy đây là lần thứ nhất vật qua \(x=-10\) theo chiều âm. Chu kỳ dao động là \(T = 1.2\) s. Các lần vật qua \(x=-10\) theo chiều âm cách nhau một chu kỳ \(T\). Thời điểm lần thứ \(n\) là \(t_n = t_1 + (n-1)T\). Ta cần tìm thời điểm lần thứ 2013. \(t_{2013} = t_1 + (2013-1)T = 0.5 + 2012 \cdot 1.2\) \(t_{2013} = 0.5 + 2414.4 = 2414.9\) s.

Bước 5: Tính tổng thời gian lực hồi phục sinh công âm

Lực hồi phục sinh công âm khi vật đi ra xa vị trí cân bằng.
Trong một chu kỳ dao động (\(T\)), có hai khoảng thời gian mà lực hồi phục sinh công âm:
1. Khi vật ở \(x > 0\) và đi theo chiều dương (\(0 \to A\)).
2. Khi vật ở \(x < 0\) và đi theo chiều âm (\(0 \to -A\)). Xét một chu kỳ từ \(t=0\). Pha ban đầu là \(-\frac{\pi}{6}\). \(x = 10\sqrt{3} > 0\), \(v > 0\). Vật bắt đầu đi ra xa vị trí cân bằng.
Quãng đường đi ra xa vị trí cân bằng trong một chu kỳ:
– Từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến pha \(\frac{\pi}{2}\) (vị trí \(x=0\), đang đi về âm): Trong khoảng này, vật đang đi về vị trí cân bằng.
– Từ pha \(\frac{\pi}{2}\) đến pha \(\frac{3\pi}{2}\) (vị trí \(x=0\), đang đi về dương): Vật đi từ \(x=-A\) đến \(x=A\).
– Từ \(x=-A\) đến \(x=0\) (pha \(\frac{3\pi}{2}\)), \(x < 0\), \(v > 0\). Vật đang đi về vị trí cân bằng.
– Từ \(x=0\) đến \(x=A\) (pha \(2\pi\)), \(x > 0\), \(v > 0\). Vật đang đi ra xa vị trí cân bằng.
– Từ \(x=A\) đến \(x=0\) (pha \(\pi\)), \(x > 0\), \(v < 0\). Vật đang đi về vị trí cân bằng. - Từ \(x=0\) đến \(x=-A\) (pha \(\frac{3\pi}{2}\)), \(x < 0\), \(v < 0\). Vật đang đi ra xa vị trí cân bằng. Trong một chu kỳ đầy đủ (\(2\pi\) radian về pha), có 2 lần lực hồi phục sinh công âm. Lần 1: Vật đi từ \(x=0\) ra biên dương (\(0 \to A\)). Pha từ \(\frac{3\pi}{2}\) đến \(2\pi\). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{2}\). Lần 2: Vật đi từ \(x=0\) ra biên âm (\(0 \to -A\)). Pha từ \(\pi\) đến \(\frac{3\pi}{2}\). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{2}\). Tổng cộng \(\pi\) radian về pha trong một chu kỳ (\(2\pi\)) vật sinh công âm. Thời gian sinh công âm trong một chu kỳ là \(\frac{T}{2}\). Tuy nhiên, chúng ta bắt đầu từ \(t=0\) với pha \(-\frac{\pi}{6}\). Pha ban đầu là \(-\frac{\pi}{6}\) (tương đương \(\frac{11\pi}{6}\)). \(x > 0\), \(v > 0\). Vật đang đi ra xa vị trí cân bằng.
Khoảng thời gian từ \(t=0\) đến \(t_{2013}\).
Thời điểm \(t_{2013} = 2414.9\) s.
Tổng chu kỳ đã trôi qua là \(N = \frac{t_{2013}}{T} = \frac{2414.9}{1.2} = 2012.416…\) chu kỳ.
Không, cách này không chính xác.

Ta cần tính tổng thời gian mà vật đi ra xa vị trí cân bằng, từ \(t=0\) đến \(t_{2013}\).
Ở \(t=0\), \(x = 10\sqrt{3}\), \(v > 0\). Vật đang đi ra xa.
Lần đầu tiên qua \(x=-10\) theo chiều âm là tại \(t=0.5\) s.
Thời gian từ \(t=0\) đến \(t=0.5\) s:
Pha thay đổi từ \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\).
Trong khoảng pha này:
Từ \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\) (tương đương \(2\pi\)), \(x>0\), \(v>0\) (đi ra xa). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\).
Từ \(0\) đến \(\frac{2\pi}{3}\), vật đi qua vị trí \(x=0\) (pha \(\frac{\pi}{2}\)), \(\pi\), rồi đến \(\frac{2\pi}{3}\).
Pha \(\frac{\pi}{2}\) là \(x=0\), \(v<0\) (về âm). Pha \(\frac{2\pi}{3}\) là \(x=-10\), \(v<0\) (đi âm). Trong khoảng pha từ \(0\) đến \(\frac{2\pi}{3}\): - Từ \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\): \(x<0\), \(v<0\) (đi ra xa biên âm). \(\Delta \phi = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\). Tổng thời gian sinh công âm từ \(t=0\) đến \(t=0.5\) s: Thời gian vật đi ra xa \(t = \frac{\Delta \phi}{\omega}\). 1. Từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\). Thời gian \(t_{0 \to 0.5 \text{ part 1}} = \frac{\pi/6}{5\pi/3} = \frac{1}{10}\) s. 2. Từ pha \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\). Thời gian \(t_{0.5 \text{ part 2}} = \frac{\pi/6}{5\pi/3} = \frac{1}{10}\) s. Tổng thời gian sinh công âm trong khoảng \(0\) đến \(0.5\) s là \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\) s. Số lần qua \(x=-10\) theo chiều âm là 2013 lần. Thời điểm lần thứ 2013 là \(t_{2013} = 2414.9\) s. Số chu kỳ đầy đủ trong khoảng thời gian này là bao nhiêu? Số lần vật qua \(x=-10\) theo chiều âm là \(2013\). Mỗi chu kỳ \(T\), có hai lần lực hồi phục sinh công âm. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét khoảng thời gian từ \(t=0\) đến thời điểm đó. Tổng thời gian lực hồi phục sinh công âm bằng tổng thời gian vật đi ra xa vị trí cân bằng. Từ \(t=0\) đến \(t_{2013}\). Ở \(t=0\), pha \(-\frac{\pi}{6}\), \(x > 0\), \(v > 0\) (đi ra xa).
Ở \(t=2414.9\) s, pha \(\frac{5\pi t}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi(2414.9)}{3} – \frac{\pi}{6} \approx \frac{5\pi(2415)}{3} – \frac{\pi}{6} \approx 4025\pi – \frac{\pi}{6}\).
\(4025\pi – \frac{\pi}{6} = 4024\pi + \pi – \frac{\pi}{6} = 4024\pi + \frac{5\pi}{6}\).
Pha cuối cùng là \(\frac{5\pi}{6}\).
Tại pha \(\frac{5\pi}{6}\), \(x = 20\cos(\frac{5\pi}{6}) = 20(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -10\sqrt{3}\).
\(v = -\frac{100\pi}{3} \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{100\pi}{3}(\frac{1}{2}) < 0\). Tại thời điểm \(t_{2013}\), vật ở li độ \(-10\sqrt{3}\) và đang đi theo chiều âm. Ta cần tính tổng thời gian mà vật đi ra xa vị trí cân bằng, từ \(t=0\) đến \(t=2414.9\). Tổng chu kỳ từ \(t=0\) đến \(t_{2013}\). Số lần vật qua \(x=-10\) theo chiều âm là 2013. Thời điểm \(t_1 = 0.5\) s (lần 1). Thời điểm \(t_{2013} = 2414.9\) s. Số chu kỳ đầy đủ giữa lần 1 và lần 2013 là \(2013 - 1 = 2012\) chu kỳ. Thời gian giữa lần 1 và lần 2013 là \(2012 \times T = 2012 \times 1.2 = 2414.4\) s. Vậy \(t_{2013} = t_1 + 2012T = 0.5 + 2414.4 = 2414.9\) s. Đúng. Trong mỗi chu kỳ \(T\), có 2 lần lực hồi phục sinh công âm, tổng thời gian là \(\frac{T}{2}\). Trong 2012 chu kỳ đầy đủ (từ \(t=0.5\) đến \(t=2414.9 - T\), tức là đến trước thời điểm \(t_{2013}\) một chu kỳ). Khoảng thời gian \(2012T\). Tổng thời gian sinh công âm là \(2012 \times \frac{T}{2} = 1006T = 1006 \times 1.2 = 1207.2\) s. Bây giờ xem xét khoảng thời gian từ \(t=0\) đến \(t=0.5\) s. Tại \(t=0\): pha \(-\frac{\pi}{6}\), \(x>0\), \(v>0\) (đi ra xa).
Từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\).
Các khoảng thời gian sinh công âm:
1. Từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{\pi}{2}\) (qua \(x=0\) về âm): Đây là pha \(\phi \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})\).
Vật đi từ \(x>0\) ra \(x=0\).
Pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\): \(\Delta\phi = \frac{\pi}{6}\). \(x>0, v>0\) (đi ra xa). Thời gian \(\frac{\pi/6}{5\pi/3} = \frac{1}{10}\).
Pha \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\): \(\Delta\phi = \frac{\pi}{2}\). \(x>0, v<0\) (về gần). Công dương. 2. Từ pha \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\): \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}\). \(x<0, v<0\) (đi ra xa). Thời gian \(\frac{\pi/6}{5\pi/3} = \frac{1}{10}\). Tổng thời gian sinh công âm từ \(t=0\) đến \(t=0.5\) là \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = 0.2\) s. Bây giờ xem xét khoảng thời gian từ \(t=2414.9\) s (tức là ngay sau khi qua \(x=-10\) lần 2013). Tại \(t_{2013} = 2414.9\), pha \(\frac{5\pi}{6}\). \(x = -10\sqrt{3}\), \(v < 0\). Lần kế tiếp vật qua \(x=-10\) theo chiều âm là pha \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}\). Thời điểm lần 2014: \(t_{2014} = t_{2013} + T = 2414.9 + 1.2 = 2416.1\) s. Pha tại \(t_{2014}\) là \(\frac{5\pi}{3}(2416.1) - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}(\frac{2414.9 + 1.2}{1}) - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi(2414.9)}{3} + \frac{5\pi(1.2)}{3} - \frac{\pi}{6}\) \( = (\frac{5\pi t_{2013}}{3} - \frac{\pi}{6}) + \frac{5\pi(1.2)}{3} = (\text{pha tại } t_{2013}) + 2\pi\). Pha tại \(t_{2013}\) là \(\frac{5\pi}{6}\). Vậy pha tại \(t_{2014}\) là \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}\). Kiểm tra: \(2014\) lần qua \(x=-10\) theo chiều âm. Pha ứng với lần thứ n là \(\frac{2\pi}{3} + 2(n-1)\pi\). Lần 2014: \(\frac{2\pi}{3} + 2(2013)\pi = \frac{2\pi}{3} + 4026\pi = \frac{2\pi + 12078\pi}{3} = \frac{12080\pi}{3}\). Thời điểm \(t = 1 + \frac{12k}{5}\). \(k = 2013\). \(t_{2014} = 1 + \frac{12 \times 2013}{5} = 1 + \frac{24156}{5} = 1 + 4831.2 = 4832.2\) s. Có sự sai lệch trong cách tính \(t_{2013}\). Quay lại: thời điểm lần thứ 2013 vật qua li độ \(-10\) cm theo chiều âm là \(t_{2013}\). Ta có \(t_n = t_1 + (n-1)T\), với \(t_1\) là thời điểm lần thứ nhất. \(t_1 = 0.5\) s. \(t_{2013} = 0.5 + (2013-1) \times 1.2 = 0.5 + 2012 \times 1.2 = 0.5 + 2414.4 = 2414.9\) s. Tổng thời gian lực hồi phục sinh công âm từ \(t=0\) đến \(t_{2013}\). Thời gian này bằng tổng thời gian vật đi ra xa vị trí cân bằng trong khoảng thời gian đó. Từ \(t=0\) đến \(t=2414.9\) s. Khoảng thời gian từ \(t=0\) đến \(t=T\): Trong khoảng thời gian này, có hai lần lực hồi phục sinh công âm. Lần 1: Từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\) (ra biên) + từ pha \(\frac{3\pi}{2}\) đến \(2\pi\) (ra biên). Lần 2: Từ pha \(\pi\) đến \(\frac{3\pi}{2}\) (ra biên âm). Cách khác: Trong mỗi chu kỳ \(T\), thời gian lực hồi phục sinh công âm là \(T/2\). Số chu kỳ đầy đủ từ \(t=0\) đến \(t=2414.9\). Thời gian \(2414.9\) s. Số chu kỳ là \(2414.9 / 1.2 = 2012.416...\) chu kỳ. Điều này có nghĩa là có 2012 chu kỳ đầy đủ. Tổng thời gian sinh công âm trong 2012 chu kỳ đầy đủ là \(2012 \times \frac{T}{2} = 1006T = 1006 \times 1.2 = 1207.2\) s. Bây giờ, ta cần xem xét phần lẻ của chu kỳ: \(0.416...\) chu kỳ. \(0.416... \times T = 0.416... \times 1.2 \approx 0.5\) s. Tức là từ thời điểm \(t = 2012T\) đến \(t = 2012T + 0.5\). Thời điểm \(2012T = 2012 \times 1.2 = 2414.4\) s. Cần xem xét từ \(t=2414.4\) đến \(t=2414.9\) s. Đây là khoảng thời gian \(0.5\) s. Tại \(t=2414.4\), pha là \(0\) (hoặc \(2\pi\)). \(t = 2012T\), pha \(\frac{5\pi}{3}(2012 \times 1.2) - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi(2414.4)}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{12072\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 4024\pi - \frac{\pi}{6}\). Pha này tương đương \(-\frac{\pi}{6}\) hoặc \(\frac{11\pi}{6}\). Tại \(t=2414.4\), \(x = 10\sqrt{3}\), \(v > 0\) (đi ra xa).

Khoảng thời gian từ \(t=2414.4\) đến \(t=2414.9\) (tức là \(0.5\) s).
Tại \(t=2414.4\), pha là \(-\frac{\pi}{6}\). Vật đi ra xa.
Đến \(t=2414.9\), pha là \(\frac{2\pi}{3}\). Vật qua \(x=-10\) theo chiều âm.
Trong khoảng pha từ \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\):
– Pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\): \(x>0, v>0\) (đi ra xa). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\). Thời gian \(\frac{1}{10}\) s.
– Pha \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\): \(x>0, v<0\) (về gần). - Pha \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\): \(x<0, v<0\) (đi ra xa). \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\). Thời gian \(\frac{1}{10}\) s. Tổng thời gian sinh công âm trong \(0.5\) s cuối cùng này là \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = 0.2\) s. Vậy, tổng thời gian lực hồi phục sinh công âm là: \(1006T + 0.2 = 1207.2 + 0.2 = 1207.4\) s. Kiểm tra lại: Thời gian lực hồi phục sinh công âm trong một chu kỳ là \(T/2\). Tổng thời gian là \(N \times \frac{T}{2} + \text{thời gian lẻ}\). Tổng số chu kỳ là \(2012.416...\) chu kỳ. Số chu kỳ đầy đủ là 2012. Thời gian sinh công âm trong 2012 chu kỳ là \(2012 \times \frac{T}{2} = 1006T = 1207.2\) s. Phần còn lại là \(0.416...\) chu kỳ, tương ứng \(0.5\) s. Trong \(0.5\) s này, ta cần tính thời gian sinh công âm. Phần \(0.5\) s này bắt đầu từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) (vì sau 2012 chu kỳ thì pha trở về ban đầu). Pha từ \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(-\frac{\pi}{6} + \omega \times 0.5 = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{3} \times 0.5 = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\). Khoảng pha là từ \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\). Thời gian sinh công âm trong khoảng pha này: - Pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\): \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\). Thời gian \(\frac{\pi/6}{5\pi/3} = \frac{1}{10}\). Sinh công âm. - Pha \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\): \(\Delta \phi = \frac{\pi}{2}\). Thời gian \(\frac{\pi/2}{5\pi/3} = \frac{3}{10}\). Sinh công dương. - Pha \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\): \(\Delta \phi = \frac{\pi}{6}\). Thời gian \(\frac{1}{10}\). Sinh công âm. Tổng thời gian sinh công âm trong \(0.5\) s cuối cùng là \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = 0.2\) s. Tổng cộng: \(1207.2 + 0.2 = 1207.4\) s. Vậy đáp án là C.

Tóm tắt các bước và kết quả:

1. Xác định các thông số của dao động: \(A=20\) cm, \(\omega = \frac{5\pi}{3}\) rad/s, \(T=1.2\) s.
2. Điều kiện lực hồi phục sinh công âm là khi vật đi ra xa vị trí cân bằng. Trong một chu kỳ, thời gian này là \(T/2\).
3. Tìm thời điểm vật qua li độ \(-10\) cm theo chiều âm lần thứ nhất: \(t_1 = 0.5\) s.
4. Tìm thời điểm vật qua li độ \(-10\) cm theo chiều âm lần thứ 2013: \(t_{2013} = t_1 + (2013-1)T = 0.5 + 2012 \times 1.2 = 2414.9\) s.
5. Tính tổng thời gian lực hồi phục sinh công âm từ \(t=0\) đến \(t_{2013}\).
– Tổng số chu kỳ là \(N = \frac{2414.9}{1.2} \approx 2012.416…\). Có 2012 chu kỳ đầy đủ.
– Thời gian sinh công âm trong 2012 chu kỳ đầy đủ: \(2012 \times \frac{T}{2} = 1006T = 1006 \times 1.2 = 1207.2\) s.
– Phần còn lại của thời gian là \(0.416…\) chu kỳ, tương ứng \(0.5\) s.
– Xem xét khoảng thời gian \(0.5\) s cuối cùng. Pha ban đầu của khoảng này là pha tại \(t=2012T\), tức là \(-\frac{\pi}{6}\).
– Pha kết thúc của khoảng này là pha tại \(t=2012T + 0.5\), tức là \(-\frac{\pi}{6} + \omega \times 0.5 = \frac{2\pi}{3}\).
– Trong khoảng pha từ \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\), thời gian vật đi ra xa là:
– Từ pha \(-\frac{\pi}{6}\) đến \(0\): \(\Delta\phi = \frac{\pi}{6}\), thời gian \(\frac{1}{10}\) s.
– Từ pha \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\frac{2\pi}{3}\): \(\Delta\phi = \frac{\pi}{6}\), thời gian \(\frac{1}{10}\) s.
– Tổng thời gian sinh công âm trong \(0.5\) s cuối cùng là \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = 0.2\) s.
6. Tổng cộng thời gian lực hồi phục sinh công âm là \(1207.2 + 0.2 = 1207.4\) s.

Kết luận:

Lực hồi phục sinh công âm trong khoảng thời gian là 1207,4 s.

Đáp án: C

Chúc các em học tốt! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé.