Câu a) Giải biểu thức: \( \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{60}} \)

Để giải bài này, chúng ta sẽ thực hiện rút gọn biểu thức. Đầu tiên, ta sẽ đưa thừa số bên trong căn về dạng đơn giản nhất có thể.

Ta có: \( \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15} \).

Tuy nhiên, để dễ dàng rút gọn với \( \sqrt{3} \) ở tử số, ta có thể phân tích \( \sqrt{60} \) như sau:

\( \sqrt{60} = \sqrt{20 \times 3} = \sqrt{20} \times \sqrt{3} \).

Do đó, biểu thức trở thành:

\( \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{60}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{20 \times 3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{20} \times \sqrt{3}} \).

Ta thấy \( \sqrt{3} \) ở cả tử và mẫu, nên ta có thể rút gọn:

\( \frac{5}{\sqrt{20}} \).

Bây giờ, ta rút gọn \( \sqrt{20} \): \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \).

Vậy, biểu thức là:

\( \frac{5}{2\sqrt{5}} \).

Để mẫu số không còn căn, ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{5} \):

\( \frac{5 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{5\sqrt{5}}{10} \).

Cuối cùng, ta rút gọn phân số:

\( \frac{\sqrt{5}}{2} \).

Kết quả câu a) là: \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)

Câu b) Giải biểu thức: \( (\sqrt{12}+\sqrt{108}-\sqrt{675}):\sqrt{3} \)

Trước hết, chúng ta sẽ rút gọn từng căn bậc hai bên trong dấu ngoặc.

Ta có:

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \).

\( \sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = \sqrt{225} \times \sqrt{3} = 15\sqrt{3} \).

Bây giờ, thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức trong dấu ngoặc:

\( \sqrt{12}+\sqrt{108}-\sqrt{675} = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} – 15\sqrt{3} \).

Ta cộng trừ các số hạng đồng dạng:

\( (2+6-15)\sqrt{3} = -7\sqrt{3} \).

Tiếp theo, ta thực hiện phép chia cho \( \sqrt{3} \):

\( (-7\sqrt{3}) : \sqrt{3} = \frac{-7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \).

Rút gọn \( \sqrt{3} \) ở tử và mẫu:

\( -7 \).

Kết quả câu b) là: \( -7 \)

Câu c) Giải biểu thức: \( \sqrt{4,9}\cdot \sqrt{1000} \)

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).

Ta có:

\( \sqrt{4,9}\cdot \sqrt{1000} = \sqrt{4,9 \times 1000} \).

Thực hiện phép nhân trong căn:

\( 4,9 \times 1000 = 4900 \).

Vậy, biểu thức trở thành:

\( \sqrt{4900} \).

Ta tìm căn bậc hai của 4900:

\( \sqrt{4900} = \sqrt{49 \times 100} = \sqrt{49} \times \sqrt{100} = 7 \times 10 = 70 \).

Kết quả câu c) là: \( 70 \)

Câu d) Giải biểu thức: \( \sqrt{8+\sqrt{15}}\cdot \sqrt{8-\sqrt{15}} \)

Chúng ta lại sử dụng tính chất \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).

Ta có:

\( \sqrt{8+\sqrt{15}}\cdot \sqrt{8-\sqrt{15}} = \sqrt{(8+\sqrt{15})(8-\sqrt{15})} \).

Bên trong căn là dạng hằng đẳng thức \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \), với \( a=8 \) và \( b=\sqrt{15} \).

Thực hiện khai triển:

\( (8+\sqrt{15})(8-\sqrt{15}) = 8^2 – (\sqrt{15})^2 = 64 – 15 = 49 \).

Vậy, biểu thức trở thành:

\( \sqrt{49} \).

Tìm căn bậc hai của 49:

\( \sqrt{49} = 7 \).

Kết quả câu d) là: \( 7 \)

Các em đã xem xong phần giải chi tiết. Nếu có chỗ nào chưa hiểu, các em hãy mạnh dạn hỏi lại thầy nhé!