Giải giúp mình bài tập lượng giác này với ạ !!! Cos 2x + 3 sin x – 2…
Cos 2x + 3 sin x – 2 = 0
Chào em, thầy/cô rất vui vì em đã chủ động gửi câu hỏi về cho môn Toán lớp 11. Đây là một dạng phương trình lượng giác rất cơ bản và thường gặp trong các bài kiểm tra. Em hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây nhé.
Bước 1: Chuyển đổi phương trình về cùng một hàm số lượng giác
Trong phương trình của chúng ta, có xuất hiện cả cosin góc kép (cos 2x) và sin góc đơn (sin x). Để giải được, ta cần đưa tất cả về cùng một hàm sin x bằng cách sử dụng công thức nhân đôi.
- Ta có công thức lượng giác: cos 2x bằng 1 trừ đi 2 lần bình phương sin x.
- Thay công thức này vào phương trình ban đầu, ta được: (1 trừ 2 lần bình phương sin x) cộng với 3 lần sin x trừ đi 2 bằng 0.
Bước 2: Rút gọn và biến đổi thành phương trình bậc hai
- Thu gọn các số hạng tự do ở vế trái (lấy 1 trừ đi 2 còn âm 1), ta có phương trình: âm 2 lần bình phương sin x cộng 3 lần sin x trừ 1 bằng 0.
- Nhân cả hai vế với âm 1 để hệ số của bình phương sin x trở thành số dương cho dễ tính, ta được phương trình bậc hai theo sin x như sau: 2 lần bình phương sin x trừ đi 3 lần sin x cộng 1 bằng 0.
Bước 3: Giải phương trình bậc hai đối với sin x
- Em coi sin x giống như một ẩn số t (với điều kiện t nằm trong đoạn từ âm 1 đến 1). Phương trình trở thành: 2 lần bình phương t trừ đi 3t cộng 1 bằng 0.
- Nhận thấy tổng các hệ số bằng 0 (vì 2 trừ 3 cộng 1 bằng 0), nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt:
- Nghiệm thứ nhất là t bằng 1.
- Nghiệm thứ hai là t bằng c phần a, tức là 1 phần 2.
- Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện từ âm 1 đến 1.
Bước 4: Tìm giá trị của x
Bây giờ ta thay ngược lại sin x bằng t để tìm x:
- Trường hợp 1: sin x bằng 1. Giá trị này xảy ra khi x bằng pi chia 2 cộng với k lần 2 pi (với k là số nguyên).
- Trường hợp 2: sin x bằng 1 phần 2. Ta có hai họ nghiệm trong một chu kỳ:
- x bằng pi chia 6 cộng với k lần 2 pi (với k là số nguyên).
- x bằng 5 pi chia 6 cộng với k lần 2 pi (với k là số nguyên).
Kết luận: Phương trình có ba họ nghiệm như đã tìm được ở trên. Em nhớ ghi kèm điều kiện k thuộc tập hợp số nguyên Z nhé. Chúc em học tốt và luôn giữ vững tinh thần yêu thích môn Toán!
\(cos 2x + 3 sin x – 2 =0\)
\((1-2 sin^2x)+3sin x – 2=0\)
\(-2sin^2x+3sinx-1=0\)
\(2sin^2x-3sinx + 1 = 0\)
\((sin x – 1)(2 sin x -1)=0\)
\(text(TH1):\)
\(sin x – 1 = 0\)
\(sin x = 1\)
\(x=pi/2+k2pi\) \((k in ZZ)\)
\(text(TH2):\)
\(2sin x – 1 = 0\)
\(sin x = 1/2\)
\(sin x= sin pi/6\)
\(x=pi/6 + k2pi\) hoặc \(x=pi-pi/6+k2pi=(5pi)/6+k2pi\) \((k in ZZ)\)
Vậy PT có các họ nghiệm:
\(x in {pi/2 + k2pi; pi/6 + k2pi; (5pi)/6+k2pi}\) \((k in ZZ)\)
\(#bot\)
\(cos 2x+3sinx-2=0\)
\(1- 2sin^2x+3sinx-2=0\)
\(-2sin^2x+3sinx-1=0\)
\((-2sin^2x+2sinx)+(sinx-1)=0\)
\(-2sinx(sinx-1)+(sinx-1)=0\)
\((sinx-1)(1-2sinx)=0\)
\(<=>[(sinx-1=0),(1-2sinx=0):}\)
\(<=>[(sinx=1),(sinx=1/2):}\)
\(<=>[(x=pi/2+k2pi),(sinx=sin(pi/6)):}, k in ZZ\)
\(<=>[(x=pi/2+k2pi),([(x=pi/6+k2pi),(x=pi-pi/6+k2pi):}):}\)
\(<=>[(x=pi/2+k2pi),([(x=pi/6+k2pi),(x=5/6 pi+k2pi):}):}\)
\(=>S={pi/2+k2pi;pi/6+k2pi;5/6pi+k2pi|k in ZZ}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment