Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về căn bậc hai và đa thức. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của một biểu thức T cho trước một mối quan hệ đặc biệt giữa hai biến x và y.

Bài toán:

Cho các số x, y sao cho \(( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{y^2+3} + y ) = 3\).

Tính giá trị của biểu thức \( T = 3x^2 + 8xy + 5y^2 \).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích mối quan hệ cho trước.

Chúng ta có phương trình: \(( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{y^2+3} + y ) = 3\).

Hãy chú ý đến dạng của các biểu thức trong ngoặc. Chúng có dạng \(\sqrt{a^2+b^2} + a\). Đây là một dạng quen thuộc trong các bài toán liên quan đến phương trình hoặc bất đẳng thức có chứa căn thức.

Chúng ta sẽ nhân liên hợp cho từng thừa số:

Xét thừa số thứ nhất: \( \sqrt{x^2+3} + x \).

Ta nhân với biểu thức liên hợp là \( \sqrt{x^2+3} – x \):

\(( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{x^2+3} – x ) = ( \sqrt{x^2+3} )^2 – x^2 = (x^2+3) – x^2 = 3\).

Do đó, \( \sqrt{x^2+3} – x = \frac{3}{\sqrt{x^2+3} + x} \).

Tương tự, xét thừa số thứ hai: \( \sqrt{y^2+3} + y \).

Ta nhân với biểu thức liên hợp là \( \sqrt{y^2+3} – y \):

\(( \sqrt{y^2+3} + y ) ( \sqrt{y^2+3} – y ) = ( \sqrt{y^2+3} )^2 – y^2 = (y^2+3) – y^2 = 3\).

Do đó, \( \sqrt{y^2+3} – y = \frac{3}{\sqrt{y^2+3} + y} \).

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu:

Phương trình cho là: \( ( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{y^2+3} + y ) = 3 \).

Từ \( \sqrt{x^2+3} + x = \frac{3}{\sqrt{x^2+3} – x} \) và \( \sqrt{y^2+3} + y = \frac{3}{\sqrt{y^2+3} – y} \).

Thay vào phương trình cho, ta được:

\( \frac{3}{\sqrt{x^2+3} – x} \cdot \frac{3}{\sqrt{y^2+3} – y} = 3 \)

\( \frac{9}{(\sqrt{x^2+3} – x)(\sqrt{y^2+3} – y)} = 3 \)

\( (\sqrt{x^2+3} – x)(\sqrt{y^2+3} – y) = \frac{9}{3} = 3 \).

Chúng ta đã có hai phương trình quan trọng:

1. \( ( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{y^2+3} + y ) = 3 \) (Phương trình đã cho)
2. \( ( \sqrt{x^2+3} – x ) ( \sqrt{y^2+3} – y ) = 3 \) (Chúng ta vừa suy ra)

Bây giờ, chúng ta nhân hai phương trình này lại với nhau:

\( [ ( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{y^2+3} + y ) ] \cdot [ ( \sqrt{x^2+3} – x ) ( \sqrt{y^2+3} – y ) ] = 3 \cdot 3 = 9 \)

Nhóm các thừa số lại:

\( [ ( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{x^2+3} – x ) ] \cdot [ ( \sqrt{y^2+3} + y ) ( \sqrt{y^2+3} – y ) ] = 9 \)

Ta biết \( ( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{x^2+3} – x ) = 3 \) và \( ( \sqrt{y^2+3} + y ) ( \sqrt{y^2+3} – y ) = 3 \).

Thay vào, ta có: \( 3 \cdot 3 = 9 \), điều này luôn đúng và không giúp chúng ta tìm ra mối quan hệ cụ thể giữa x và y.

Hãy thử chia hai phương trình mà chúng ta có:

Chia phương trình 1 cho phương trình 2:

\( \frac{( \sqrt{x^2+3} + x ) ( \sqrt{y^2+3} + y )}{( \sqrt{x^2+3} – x ) ( \sqrt{y^2+3} – y )} = \frac{3}{3} = 1 \)

Nhóm các thừa số:

\( \frac{\sqrt{x^2+3} + x}{\sqrt{x^2+3} – x} \cdot \frac{\sqrt{y^2+3} + y}{\sqrt{y^2+3} – y} = 1 \)

Từ \( \sqrt{x^2+3} – x = \frac{3}{\sqrt{x^2+3} + x} \), ta có \( \frac{\sqrt{x^2+3} + x}{\sqrt{x^2+3} – x} = \frac{\sqrt{x^2+3} + x}{3/(\sqrt{x^2+3} + x)} = \frac{(\sqrt{x^2+3} + x)^2}{3} \).

Tương tự, \( \frac{\sqrt{y^2+3} + y}{\sqrt{y^2+3} – y} = \frac{(\sqrt{y^2+3} + y)^2}{3} \).

Thay vào phương trình trên:

\( \frac{(\sqrt{x^2+3} + x)^2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{y^2+3} + y)^2}{3} = 1 \)

\( \frac{[(\sqrt{x^2+3} + x)(\sqrt{y^2+3} + y)]^2}{9} = 1 \)

\( [(\sqrt{x^2+3} + x)(\sqrt{y^2+3} + y)]^2 = 9 \)

\( (\sqrt{x^2+3} + x)(\sqrt{y^2+3} + y) = \pm 3 \).

Vì phương trình ban đầu cho là \( (\sqrt{x^2+3} + x)(\sqrt{y^2+3} + y) = 3 \), nên trường hợp này không cho thêm thông tin mới.

Hãy quay lại việc sử dụng các biểu thức liên hợp. Chúng ta có:

\( \sqrt{x^2+3} + x = A \) và \( \sqrt{x^2+3} – x = B \). Ta biết \( AB = 3 \).

Cộng hai phương trình này lại: \( 2\sqrt{x^2+3} = A+B \implies \sqrt{x^2+3} = \frac{A+B}{2} \).

Trừ hai phương trình: \( 2x = A-B \implies x = \frac{A-B}{2} \).

Tương tự, gọi \( \sqrt{y^2+3} + y = C \) và \( \sqrt{y^2+3} – y = D \). Ta biết \( CD = 3 \).

Cộng hai phương trình này lại: \( 2\sqrt{y^2+3} = C+D \implies \sqrt{y^2+3} = \frac{C+D}{2} \).

Trừ hai phương trình: \( 2y = C-D \implies y = \frac{C-D}{2} \).

Phương trình ban đầu là \( AC = 3 \).

Và chúng ta vừa suy ra \( BD = 3 \).

Từ \( x = \frac{A-B}{2} \) và \( y = \frac{C-D}{2} \).

Chúng ta có \( A = \frac{3}{C} \) và \( B = \frac{3}{D} \).

Thay vào biểu thức của x:

\( x = \frac{\frac{3}{C} – \frac{3}{D}}{2} = \frac{3(D-C)}{2CD} \).

Vì \( CD = 3 \), nên \( x = \frac{3(D-C)}{2 \cdot 3} = \frac{D-C}{2} \).

Bây giờ ta có:

\( x = \frac{D-C}{2} \) và \( y = \frac{C-D}{2} \).

Quan sát hai biểu thức này, ta thấy \( x = -y \).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức T.

Chúng ta cần tính \( T = 3x^2 + 8xy + 5y^2 \).

Vì \( x = -y \), ta thay \( x \) bằng \( -y \) vào biểu thức T:

\( T = 3(-y)^2 + 8(-y)y + 5y^2 \)

\( T = 3y^2 – 8y^2 + 5y^2 \)

\( T = (3 – 8 + 5)y^2 \)

\( T = 0 \cdot y^2 \)

\( T = 0 \).

Hoặc chúng ta có thể thay \( y \) bằng \( -x \) vào biểu thức T:

\( T = 3x^2 + 8x(-x) + 5(-x)^2 \)

\( T = 3x^2 – 8x^2 + 5x^2 \)

\( T = (3 – 8 + 5)x^2 \)

\( T = 0 \cdot x^2 \)

\( T = 0 \).

Kết luận:

Vậy, với các số x, y thỏa mãn điều kiện đã cho, giá trị của biểu thức \( T = 3x^2 + 8xy + 5y^2 \) là 0.

Các em thấy đấy, việc biến đổi biểu thức và tìm ra mối liên hệ giữa các biến là chìa khóa để giải bài toán này. Chú ý đến các kỹ thuật như nhân liên hợp sẽ giúp chúng ta khai thác thông tin từ đề bài một cách hiệu quả.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!

Chúc các em học tốt!