Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Đây là một phương pháp rất hiệu quả để tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ phương trình chúng ta cần giải là:

\( \begin{cases} -2x + 6y = 8 \quad &(1) \\ 3x – 9y = -12 \quad &(2) \end{cases} \)

Mục tiêu của phương pháp cộng đại số là biến đổi các phương trình sao cho khi chúng ta cộng (hoặc trừ) hai phương trình lại với nhau, một trong các ẩn (x hoặc y) sẽ bị triệt tiêu.

Bước 1: Chuẩn bị hệ số để triệt tiêu một ẩn

Chúng ta quan sát hệ số của x là -2 và 3, hệ số của y là 6 và -9. Để triệt tiêu ẩn x, chúng ta cần biến đổi hệ số của x thành các số đối nhau (ví dụ: -6 và 6).
Để làm được điều đó:

Chúng ta sẽ nhân phương trình (1) với 3, và nhân phương trình (2) với 2:

Nhân phương trình (1) với 3:

\( 3 \times (-2x + 6y) = 3 \times 8 \)

\( -6x + 18y = 24 \quad &(1′) \)

Nhân phương trình (2) với 2:

\( 2 \times (3x – 9y) = 2 \times (-12) \)

\( 6x – 18y = -24 \quad &(2′) \)

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu:

\( \begin{cases} -6x + 18y = 24 \quad &(1′) \\ 6x – 18y = -24 \quad &(2′) \end{cases} \)

Bước 2: Cộng hai phương trình

Chúng ta cộng vế theo vế hai phương trình (1′) và (2′):

\( (-6x + 18y) + (6x – 18y) = 24 + (-24) \)

Thực hiện phép cộng:

\( -6x + 6x + 18y – 18y = 0 \)

\( 0x + 0y = 0 \)

\( 0 = 0 \)

Bước 3: Phân tích kết quả

Khi chúng ta cộng hai phương trình và nhận được một đẳng thức luôn đúng (ví dụ: \( 0 = 0 \)), điều này có nghĩa là hai phương trình ban đầu là tương đương với nhau. Hay nói cách khác, chúng biểu diễn cùng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Do đó, hệ phương trình này có vô số nghiệm.

Bước 4: Biểu diễn tập nghiệm

Để biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình có vô số nghiệm, chúng ta sẽ chọn một trong hai phương trình ban đầu (hoặc phương trình đã biến đổi) và biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

Chúng ta chọn phương trình (1): \( -2x + 6y = 8 \)

Để đơn giản, chúng ta có thể chia cả hai vế cho -2:

\( \frac{-2x}{-2} + \frac{6y}{-2} = \frac{8}{-2} \)

\( x – 3y = -4 \)

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\( x = 3y – 4 \)

Vậy, tập nghiệm của hệ phương trình là tất cả các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = 3y – 4 \), với \( y \) là một số thực bất kỳ.

Kết luận:

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Tập nghiệm của hệ phương trình là \( S = \{ (x, y) \mid x = 3y – 4, y \in \mathbb{R} \} \).
Điều này có nghĩa là mỗi khi em chọn một giá trị bất kỳ cho \( y \), em sẽ tìm được một giá trị \( x \) tương ứng, và cặp \( (x, y) \) đó sẽ là một nghiệm của hệ phương trình.

Hy vọng phần trình bày này giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, đặc biệt là trường hợp đặc biệt khi hệ phương trình có vô số nghiệm!

Chúc các em học tốt!