Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình khá thú vị bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đây là một kỹ thuật rất hiệu quả khi chúng ta thấy các biểu thức phức tạp lặp lại trong hệ phương trình. Hãy cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

\(\left \{ {{\frac{2}{x-2y}+\frac{1}{y+2x}=3} \atop {\frac{4}{x-2y}-\frac{3}{y+2x}=1}} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.

Để các phân thức trong hệ phương trình có nghĩa, các mẫu số phải khác 0.

Ta có các điều kiện:

\(x – 2y \neq 0\)

\(y + 2x \neq 0\)

Nếu trong quá trình giải tìm được \(x\) và \(y\) mà vi phạm một trong hai điều kiện này, thì nghiệm đó sẽ bị loại bỏ.

Bước 2: Đặt ẩn phụ.

Quan sát hệ phương trình, chúng ta thấy các biểu thức \(\frac{1}{x-2y}\) và \(\frac{1}{y+2x}\) xuất hiện lặp lại. Đây chính là dấu hiệu để chúng ta đặt ẩn phụ.

Đặt:

\(A = \frac{1}{x-2y}\)

\(B = \frac{1}{y+2x}\)

Bước 3: Viết lại hệ phương trình theo các ẩn phụ mới.

Khi đó, hệ phương trình ban đầu sẽ trở thành một hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn theo A và B:

\(\left \{ {{2A+B=3 \quad (1′)} \atop {4A-3B=1 \quad (2′)}} \right.\)

Bước 4: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ A và B.

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ này. Ở đây, thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số để khử B.

Nhân cả hai vế của phương trình (1′) với 3, ta được:

\(3 \times (2A + B) = 3 \times 3 \Rightarrow 6A + 3B = 9 \quad (3′)\)

Bây giờ, cộng phương trình (3′) với phương trình (2′):

\((6A + 3B) + (4A – 3B) = 9 + 1\)

\(6A + 4A + 3B – 3B = 10\)

\(10A = 10\)

Chia cả hai vế cho 10, ta được:

\(A = 1\)

Tiếp theo, thay giá trị của \(A = 1\) vào phương trình (1′) (hoặc (2′)), ta sẽ tìm được B. Thầy chọn phương trình (1′) vì nó đơn giản hơn:

\(2A + B = 3\)

\(2(1) + B = 3\)

\(2 + B = 3\)

Trừ 2 ở cả hai vế:

\(B = 3 – 2\)

\(B = 1\)

Vậy, ta tìm được các giá trị của ẩn phụ là \(A = 1\) và \(B = 1\).

Bước 5: Trở lại ẩn ban đầu x và y.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị của A và B trở lại định nghĩa ban đầu:

Với \(A = \frac{1}{x-2y}\):

\(\frac{1}{x-2y} = 1 \Rightarrow x-2y = 1 \quad (I)\)

Với \(B = \frac{1}{y+2x}\):

\(\frac{1}{y+2x} = 1 \Rightarrow y+2x = 1 \quad (II)\)

Bước 6: Giải hệ phương trình mới theo x và y.

Chúng ta cần giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn sau:

\(\left \{ {{x-2y=1 \quad (I)} \atop {2x+y=1 \quad (II)}} \right.\)

Thầy sẽ tiếp tục sử dụng phương pháp cộng đại số. Nhân phương trình (II) với 2 để có hệ số của y đối nhau:

\(2 \times (2x + y) = 2 \times 1 \Rightarrow 4x + 2y = 2 \quad (III)\)

Cộng phương trình (I) với phương trình (III):

\((x – 2y) + (4x + 2y) = 1 + 2\)

\(x + 4x – 2y + 2y = 3\)

\(5x = 3\)

Chia cả hai vế cho 5:

\(x = \frac{3}{5}\)

Thay giá trị của \(x = \frac{3}{5}\) vào phương trình (II) để tìm y:

\(2x + y = 1\)

\(2\left(\frac{3}{5}\right) + y = 1\)

\(\frac{6}{5} + y = 1\)

Trừ \(\frac{6}{5}\) ở cả hai vế:

\(y = 1 – \frac{6}{5}\)

\(y = \frac{5}{5} – \frac{6}{5}\)

\(y = -\frac{1}{5}\)

Vậy, ta tìm được \(x = \frac{3}{5}\) và \(y = -\frac{1}{5}\).

Bước 7: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem cặp nghiệm \((x; y) = \left(\frac{3}{5}; -\frac{1}{5}\right)\) có thỏa mãn điều kiện xác định ở Bước 1 hay không:

1. Điều kiện \(x – 2y \neq 0\):

\(\frac{3}{5} – 2\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1\). Vì \(1 \neq 0\), điều kiện này được thỏa mãn.

2. Điều kiện \(y + 2x \neq 0\):

\(-\frac{1}{5} + 2\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{1}{5} + \frac{6}{5} = \frac{5}{5} = 1\). Vì \(1 \neq 0\), điều kiện này cũng được thỏa mãn.

Vì cặp nghiệm tìm được thỏa mãn tất cả các điều kiện, nên đây chính là nghiệm của hệ phương trình.

Kết luận:

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = \left(\frac{3}{5}; -\frac{1}{5}\right)\).

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải bài toán này. Phương pháp đặt ẩn phụ là một công cụ rất mạnh mẽ, giúp chúng ta biến đổi các bài toán phức tạp thành dạng đơn giản hơn để giải quyết. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo phương pháp này nhé!

Chúc các em học tốt!