Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số hệ phương trình bằng phương pháp thế. Phương pháp thế là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta giải quyết các hệ phương trình bằng cách rút một ẩn từ một phương trình và thay thế nó vào phương trình còn lại.

Chúng ta sẽ đi qua từng bài tập một cách chi tiết nhé.

—

Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

x + y = 4 (1)
x^2 + 2y^2 = 11 (2)

Lời giải:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình này.

Bước 1: Rút một ẩn từ một phương trình.
Từ phương trình (1), ta có thể dễ dàng rút x theo y hoặc y theo x. Ở đây, chúng ta sẽ rút x theo y:
x = 4 – y (3)

Bước 2: Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình còn lại.
Thế biểu thức (3) vào phương trình (2):
(4 – y)^2 + 2y^2 = 11

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
Mở rộng biểu thức (4 – y)^2:
(16 – 8y + y^2) + 2y^2 = 11
Kết hợp các số hạng giống nhau:
3y^2 – 8y + 16 = 11
Chuyển 11 sang vế trái để đưa về dạng phương trình bậc hai chuẩn:
3y^2 – 8y + 16 – 11 = 0
3y^2 – 8y + 5 = 0

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, chúng ta sẽ tính delta:
Delta = b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4 3 5 = 64 – 60 = 4
Vì Delta > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)
\(y_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 – \sqrt{4}}{2 * 3} = \frac{8 – 2}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

Bước 4: Tìm giá trị của ẩn còn lại.
Với mỗi giá trị của y tìm được, ta sẽ thay trở lại vào phương trình (3) để tìm x.

* Nếu \(y_1 = \frac{5}{3}\), ta có:
x_1 = 4 – y_1 = 4 – \frac{5}{3} = \frac{12}{3} – \frac{5}{3} = \frac{7}{3}
Vậy, nghiệm thứ nhất của hệ phương trình là \((x_1, y_1) = (\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\).

* Nếu \(y_2 = 1\), ta có:
x_2 = 4 – y_2 = 4 – 1 = 3
Vậy, nghiệm thứ hai của hệ phương trình là \((x_2, y_2) = (3, 1)\).

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là \((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\) và \((3, 1)\).

—

Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

x^2 + 4y^2 – 4xy – 1 = 0 (1)
x – y = -1 (2)

Lời giải:

Bước 1: Rút một ẩn từ một phương trình.
Từ phương trình (2), ta rút x theo y:
x = y – 1 (3)

Bước 2: Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình còn lại.
Thế biểu thức (3) vào phương trình (1):
(y – 1)^2 + 4y^2 – 4(y – 1)y – 1 = 0

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
Mở rộng và rút gọn phương trình:
(y^2 – 2y + 1) + 4y^2 – (4y^2 – 4y) – 1 = 0
y^2 – 2y + 1 + 4y^2 – 4y^2 + 4y – 1 = 0
Kết hợp các số hạng giống nhau:
(y^2 + 4y^2 – 4y^2) + (-2y + 4y) + (1 – 1) = 0
y^2 + 2y = 0

Phân tích nhân tử phương trình:
y(y + 2) = 0
Điều này cho ta hai trường hợp:
y = 0 hoặc y + 2 = 0

Vậy, \(y_1 = 0\) hoặc \(y_2 = -2\).

Bước 4: Tìm giá trị của ẩn còn lại.
Với mỗi giá trị của y tìm được, ta sẽ thay trở lại vào phương trình (3) để tìm x.

* Nếu \(y_1 = 0\), ta có:
x_1 = y_1 – 1 = 0 – 1 = -1
Vậy, nghiệm thứ nhất của hệ phương trình là \((x_1, y_1) = (-1, 0)\).

* Nếu \(y_2 = -2\), ta có:
x_2 = y_2 – 1 = -2 – 1 = -3
Vậy, nghiệm thứ hai của hệ phương trình là \((x_2, y_2) = (-3, -2)\).

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là \((-1, 0)\) và \((-3, -2)\).

—

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

x + y = 6 (1)
x^2 – 6xy + 5y^2 = 0 (2)

Lời giải:

Bước 1: Rút một ẩn từ một phương trình.
Từ phương trình (1), ta rút x theo y:
x = 6 – y (3)

Bước 2: Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình còn lại.
Thế biểu thức (3) vào phương trình (2):
(6 – y)^2 – 6(6 – y)y + 5y^2 = 0

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
Mở rộng và rút gọn phương trình:
(36 – 12y + y^2) – (36y – 6y^2) + 5y^2 = 0
36 – 12y + y^2 – 36y + 6y^2 + 5y^2 = 0
Kết hợp các số hạng giống nhau:
(y^2 + 6y^2 + 5y^2) + (-12y – 36y) + 36 = 0
12y^2 – 48y + 36 = 0

Chia cả hai vế cho 12 để đơn giản hóa phương trình:
y^2 – 4y + 3 = 0

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Ta có thể phân tích thành nhân tử:
(y – 1)(y – 3) = 0
Điều này cho ta hai trường hợp:
y – 1 = 0 hoặc y – 3 = 0

Vậy, \(y_1 = 1\) hoặc \(y_2 = 3\).

Bước 4: Tìm giá trị của ẩn còn lại.
Với mỗi giá trị của y tìm được, ta sẽ thay trở lại vào phương trình (3) để tìm x.

* Nếu \(y_1 = 1\), ta có:
x_1 = 6 – y_1 = 6 – 1 = 5
Vậy, nghiệm thứ nhất của hệ phương trình là \((x_1, y_1) = (5, 1)\).

* Nếu \(y_2 = 3\), ta có:
x_2 = 6 – y_2 = 6 – 3 = 3
Vậy, nghiệm thứ hai của hệ phương trình là \((x_2, y_2) = (3, 3)\).

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là \((5, 1)\) và \((3, 3)\).

—

Các em về nhà ôn tập lại các bước giải và thử sức với các bài tập tương tự nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy! Chúc các em học tốt!