Bài toán: Giải các phương trình sau:
a. \( \cos 2x – \sin x = 0 \)
b. \( \cos 2x – \cos x + 1 = 0 \)

—

Phần a: Giải phương trình \( \cos 2x – \sin x = 0 \)

Đầu tiên, chúng ta cần đưa phương trình về một loại hàm lượng giác duy nhất để dễ dàng giải quyết.
Trong phương trình này, chúng ta có cả \( \cos 2x \) và \( \sin x \).
Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc cho \( \cos 2x \): \( \cos 2x = 1 – 2\sin^2 x \).
Thay công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:

\( (1 – 2\sin^2 x) – \sin x = 0 \)

Bây giờ, chúng ta sắp xếp lại các hạng tử theo bậc của \( \sin x \) để có một phương trình bậc hai theo \( \sin x \):

\( -2\sin^2 x – \sin x + 1 = 0 \)

Để cho dễ nhìn, chúng ta có thể nhân cả hai vế với -1:

\( 2\sin^2 x + \sin x – 1 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo \( \sin x \). Chúng ta có thể đặt \( t = \sin x \).
Khi đó, phương trình trở thành:

\( 2t^2 + t – 1 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
Ta thấy rằng \( 2t^2 + 2t – t – 1 = 0 \).
Nhóm các hạng tử lại: \( 2t(t + 1) – 1(t + 1) = 0 \).
Suy ra: \( (2t – 1)(t + 1) = 0 \).
Vậy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( 2t – 1 = 0 \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \)

Trường hợp 2: \( t + 1 = 0 \Rightarrow t = -1 \)

Bây giờ, chúng ta thay \( t = \sin x \) trở lại:

Trường hợp 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Chúng ta biết rằng \( \sin x = \frac{1}{2} \) có các nghiệm là:
\( x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \)
hoặc
\( x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \)
với \( k \in \mathbb{Z} \).

Trường hợp 2: \( \sin x = -1 \)

Chúng ta biết rằng \( \sin x = -1 \) có nghiệm là:
\( x = -\frac{\pi}{2} + m2\pi \)
hoặc
\( x = \frac{3\pi}{2} + m2\pi \)
với \( m \in \mathbb{Z} \).

Kết luận phần a:
Vậy, tập nghiệm của phương trình \( \cos 2x – \sin x = 0 \) là:
\( x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \), \( x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \), \( x = -\frac{\pi}{2} + m2\pi \) với \( k, m \in \mathbb{Z} \).

—

Phần b: Giải phương trình \( \cos 2x – \cos x + 1 = 0 \)

Tương tự như phần a, chúng ta cần đưa phương trình về một loại hàm lượng giác duy nhất.
Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc cho \( \cos 2x \) liên quan đến \( \cos x \): \( \cos 2x = 2\cos^2 x – 1 \).
Thay công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:

\( (2\cos^2 x – 1) – \cos x + 1 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta rút gọn phương trình:

\( 2\cos^2 x – \cos x = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo \( \cos x \). Chúng ta có thể đặt \( y = \cos x \).
Khi đó, phương trình trở thành:

\( 2y^2 – y = 0 \)

Chúng ta có thể phân tích phương trình này thành nhân tử bằng cách đặt \( y \) làm thừa số chung:

\( y(2y – 1) = 0 \)

Vậy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( y = 0 \)

Trường hợp 2: \( 2y – 1 = 0 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \)

Bây giờ, chúng ta thay \( y = \cos x \) trở lại:

Trường hợp 1: \( \cos x = 0 \)

Chúng ta biết rằng \( \cos x = 0 \) có các nghiệm là:
\( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \)
với \( n \in \mathbb{Z} \).

Trường hợp 2: \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Chúng ta biết rằng \( \cos x = \frac{1}{2} \) có các nghiệm là:
\( x = \frac{\pi}{3} + p2\pi \)
hoặc
\( x = -\frac{\pi}{3} + p2\pi \)
với \( p \in \mathbb{Z} \).

Kết luận phần b:
Vậy, tập nghiệm của phương trình \( \cos 2x – \cos x + 1 = 0 \) là:
\( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), \( x = \frac{\pi}{3} + p2\pi \), \( x = -\frac{\pi}{3} + p2\pi \) với \( n, p \in \mathbb{Z} \).

—

Các em thấy đấy, để giải các phương trình lượng giác này, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, đặc biệt là công thức hạ bậc, và kỹ năng giải phương trình bậc hai.
Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé.
Hẹn gặp lại các em trong buổi học tiếp theo!