Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài phương trình chứa căn thức khá thú vị. Bài này yêu cầu chúng ta phải suy luận và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.

Đề bài: Giải phương trình \(\sqrt{ 3x -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3x }\) = \(9x^2 – 36x + 38\)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các căn thức có nghĩa, ta cần có:

1. \(3x – 5 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 5 \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{3}\)

2. \(7 – 3x \ge 0 \Leftrightarrow 7 \ge 3x \Leftrightarrow x \le \frac{7}{3}\)

Kết hợp hai điều kiện, ta có: \(\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}\). Đây là tập xác định của phương trình.

Bước 2: Biến đổi vế phải của phương trình.

Ta quan sát vế phải: \(9x^2 – 36x + 38\). Đây là một tam thức bậc hai. Chúng ta thử đưa nó về dạng bình phương của một biểu thức hoặc một hằng số nào đó.

Ta có thể nhóm các hạng tử như sau:

\(9x^2 – 36x + 38 = (9x^2 – 36x + 36) + 2 = (3x – 6)^2 + 2\)

Vậy phương trình trở thành: \(\sqrt{ 3x -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3x }\) = \((3x – 6)^2 + 2\)

Bước 3: Đánh giá hai vế của phương trình.

Bây giờ, chúng ta sẽ xét xem giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mỗi vế có thể đạt được trong tập xác định là bao nhiêu.

Xét vế trái: \(A = \sqrt{ 3x -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3x }\)

Với \(\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để đánh giá:

\((1^2 + 1^2)(\sqrt{ 3x -5 }^2 + \sqrt{ 7 – 3x }^2) \ge (\sqrt{ 3x -5 } \cdot 1 + \sqrt{ 7 – 3x } \cdot 1)^2\)

\(2((3x – 5) + (7 – 3x)) \ge A^2\)

\(2(2) \ge A^2\)

\(4 \ge A^2\)

Vì \(A = \sqrt{ 3x -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3x }\) luôn không âm, nên ta có \(0 \le A \le 2\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{ 3x -5 }}{1} = \frac{\sqrt{ 7 – 3x }}{1} \Leftrightarrow 3x – 5 = 7 – 3x \Leftrightarrow 6x = 12 \Leftrightarrow x = 2\).

Kiểm tra \(x=2\) có thuộc tập xác định \(\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}\) không. Vì \(\frac{5}{3} \approx 1.67\) và \(\frac{7}{3} \approx 2.33\), nên \(x=2\) thuộc tập xác định.

Do đó, giá trị lớn nhất của vế trái là 2, đạt được khi \(x=2\).

Xét vế phải: \(B = (3x – 6)^2 + 2\)

Với \(\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}\), ta xét biểu thức \(3x – 6\):

Khi \(x = \frac{5}{3}\), \(3x – 6 = 3(\frac{5}{3}) – 6 = 5 – 6 = -1\).

Khi \(x = \frac{7}{3}\), \(3x – 6 = 3(\frac{7}{3}) – 6 = 7 – 6 = 1\).

Do đó, với \(\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}\), ta có \(-1 \le 3x – 6 \le 1\).

Suy ra, \((3x – 6)^2 \ge 0\).

Vậy, \(B = (3x – 6)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2\).

Giá trị nhỏ nhất của vế phải là 2, đạt được khi \(3x – 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Bước 4: Kết luận.

Ta thấy:

Vế trái: \(\sqrt{ 3x -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3x }\) \(\le 2\)

Vế phải: \(9x^2 – 36x + 38\) \(\ge 2\)

Để phương trình có nghiệm, hai vế phải bằng nhau. Điều này chỉ xảy ra khi cả hai vế cùng bằng 2.

Điều này xảy ra khi:

\(\sqrt{ 3x -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3x }\) = 2 VÀ \(9x^2 – 36x + 38\) = 2

Chúng ta đã chỉ ra rằng cả hai điều kiện này cùng đạt được giá trị biên (lớn nhất cho vế trái và nhỏ nhất cho vế phải) khi \(x = 2\).

Kiểm tra lại \(x=2\) vào phương trình ban đầu:

Vế trái: \(\sqrt{ 3(2) -5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 3(2) }\) = \(\sqrt{ 6 – 5 }\) + \(\sqrt{ 7 – 6 }\) = \(\sqrt{1}\) + \(\sqrt{1}\) = 1 + 1 = 2.

Vế phải: \(9(2)^2 – 36(2) + 38\) = \(9(4) – 72 + 38\) = \(36 – 72 + 38\) = \(2\).

Vế trái bằng vế phải, vậy \(x=2\) là nghiệm của phương trình.

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 2\).

Các em thấy đấy, bài toán này không cần đến các kỹ thuật phức tạp như đặt ẩn phụ hay liên hợp, mà chỉ cần khéo léo trong việc đánh giá hai vế của phương trình dựa trên điều kiện xác định.