Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một phương trình bậc hai rất quen thuộc. Phương trình của chúng ta là:

\(x^2 – 48x – 49 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng tổng quát \(ax^2 + bx + c = 0\). Với phương trình này, chúng ta có thể lựa chọn nhiều cách giải khác nhau. Thầy/Cô sẽ hướng dẫn các em hai cách phổ biến và hiệu quả nhất nhé!

Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (nhẩm nghiệm)

Đây là phương pháp thường được ưu tiên nếu chúng ta có thể nhẩm ra các số thích hợp một cách nhanh chóng. Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho tích \(m \times n = ac\) và tổng \(m + n = b\).

Trong phương trình \(x^2 – 48x – 49 = 0\), chúng ta có:

• \(a = 1\)
• \(b = -48\)
• \(c = -49\)

Ta cần tìm hai số có tích bằng \(a \times c = 1 \times (-49) = -49\) và tổng bằng \(b = -48\).

Chúng ta có thể dễ dàng nhẩm được hai số đó chính là \(-49\) và \(1\), vì:

• \(-49 \times 1 = -49\) (đúng với tích \(ac\))
• \(-49 + 1 = -48\) (đúng với tổng \(b\))

Bây giờ, chúng ta sẽ tách hạng tử giữa \(-48x\) thành \(-49x + 1x\):

\(x^2 – 49x + x – 49 = 0\)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các hạng tử lại để tìm nhân tử chung:

\((x^2 – 49x) + (x – 49) = 0\)

Đặt nhân tử chung ở nhóm đầu tiên:

\(x(x – 49) + 1(x – 49) = 0\)

Tiếp tục đặt nhân tử chung là \((x – 49)\):

\((x – 49)(x + 1) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0. Vậy ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:
\(x – 49 = 0\)
\(x = 49\)

Trường hợp 2:
\(x + 1 = 0\)
\(x = -1\)

Vậy, phương trình có hai nghiệm là \(x_1 = 49\) và \(x_2 = -1\).

Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (công thức Delta \(\Delta\))

Đây là phương pháp luôn luôn giải được mọi phương trình bậc hai và rất quan trọng mà các em cần nắm vững!

Đầu tiên, chúng ta xác định các hệ số \(a, b, c\) từ phương trình \(x^2 – 48x – 49 = 0\).

• \(a = 1\) (hệ số của \(x^2\))
• \(b = -48\) (hệ số của \(x\))
• \(c = -49\) (hằng số tự do)

Bước tiếp theo là tính biệt thức Delta (\(\Delta\)) theo công thức: \(\Delta = b^2 – 4ac\).

Thay các giá trị \(a, b, c\) vào công thức:

\(\Delta = (-48)^2 – 4 \times 1 \times (-49)\)

Chúng ta cùng tính toán cẩn thận từng phần nhé:

• \((-48)^2 = (-48) \times (-48) = 2304\)
• \(-4 \times 1 \times (-49) = -4 \times (-49) = 196\)

Vậy, giá trị của \(\Delta\) là:

\(\Delta = 2304 + 196\)

\(\Delta = 2500\)

Vì \(\Delta = 2500 > 0\), phương trình của chúng ta có hai nghiệm phân biệt.
Chúng ta cần tính căn bậc hai của \(\Delta\):

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{2500} = 50\)

Bây giờ, chúng ta áp dụng công thức nghiệm để tìm \(x_1\) và \(x_2\):

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Thay các giá trị \(a = 1, b = -48, \sqrt{\Delta} = 50\) vào công thức:

Nghiệm thứ nhất \(x_1\):
\(x_1 = \frac{-(-48) + 50}{2 \times 1}\)
\(x_1 = \frac{48 + 50}{2}\)
\(x_1 = \frac{98}{2}\)
\(x_1 = 49\)

Nghiệm thứ hai \(x_2\):
\(x_2 = \frac{-(-48) – 50}{2 \times 1}\)
\(x_2 = \frac{48 – 50}{2}\)
\(x_2 = \frac{-2}{2}\)
\(x_2 = -1\)

Kết quả hai nghiệm tìm được hoàn toàn trùng khớp với cách giải thứ nhất!

Kết luận:

Vậy tập nghiệm của phương trình \(x^2 – 48x – 49 = 0\) là \(S = \{-1; 49\}\).

Các em thấy không, dù dùng cách nào thì kết quả cũng như nhau. Điều quan trọng là chúng ta hiểu rõ bản chất của từng phương pháp và vận dụng linh hoạt nhé! Chúc các em học tốt!