Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em giải một bài toán về hệ phương trình “hỗn tạp” khá thú vị. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho cả hai phương trình đều được thỏa mãn.

Chúng ta có hệ phương trình như sau:

{ \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \) (1)
\( \frac{3}{x} – \frac{2}{y} = 1 \) (2)

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXD)

Trước hết, các em cần nhớ rằng trong các phân thức, mẫu số phải khác 0. Ở đây, chúng ta có các mẫu số là \(x\) và \(y\). Do đó, điều kiện để hệ phương trình có nghĩa là:

\( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \)

2. Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình tuyến tính

Để bài toán trở nên dễ dàng hơn, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Các em thấy rằng trong cả hai phương trình, chúng ta đều có các biểu thức dạng \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{y} \).

Chúng ta đặt:

\( a = \frac{1}{x} \)
\( b = \frac{1}{y} \)

Với \(x \neq 0\) và \(y \neq 0\) thì \(a\) và \(b\) có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Thay \(a\) và \(b\) vào hệ phương trình ban đầu, ta được hệ phương trình mới, đây là hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn \(a\) và \(b\):

{ \( a + b = 2 \) (1′)
\( 3a – 2b = 1 \) (2′)

3. Giải hệ phương trình tuyến tính với ẩn phụ

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình (1′) và (2′) bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số nhé.

Nhân phương trình (1′) với 2:

\( 2(a + b) = 2 \times 2 \)
\( 2a + 2b = 4 \) (3)

Bây giờ, chúng ta cộng phương trình (3) với phương trình (2′):

\( (2a + 2b) + (3a – 2b) = 4 + 1 \)
\( 2a + 3a + 2b – 2b = 5 \)
\( 5a = 5 \)
\( a = \frac{5}{5} \)
\( a = 1 \)

Sau khi tìm được giá trị của \(a\), chúng ta sẽ thay giá trị này vào một trong hai phương trình ban đầu (ví dụ phương trình (1′)) để tìm \(b\).

Thay \(a = 1\) vào phương trình (1′):

\( 1 + b = 2 \)
\( b = 2 – 1 \)
\( b = 1 \)

Vậy, chúng ta tìm được \(a = 1\) và \(b = 1\).

4. Tìm lại giá trị của x và y

Bây giờ, chúng ta sử dụng lại mối quan hệ giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu để tìm \(x\) và \(y\).

Chúng ta có:

\( a = \frac{1}{x} \) => \( 1 = \frac{1}{x} \)

Nhân cả hai vế với \(x\) (vì \(x \neq 0\)), ta được:

\( x = 1 \)

Và:

\( b = \frac{1}{y} \) => \( 1 = \frac{1}{y} \)

Nhân cả hai vế với \(y\) (vì \(y \neq 0\)), ta được:

\( y = 1 \)

5. Kiểm tra lại điều kiện xác định và kết luận

Chúng ta đã tìm được \(x = 1\) và \(y = 1\). Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu là \(x \neq 0\) và \(y \neq 0\) hay không.
Rõ ràng, \(1 \neq 0\), nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Các em có thể thử lại bằng cách thay \(x=1\) và \(y=1\) vào cả hai phương trình ban đầu:
* Phương trình (1): \( \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2 \) (Đúng)
* Phương trình (2): \( \frac{3}{1} – \frac{2}{1} = 3 – 2 = 1 \) (Đúng)

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 1\) và \(y = 1\).

Kết luận:

Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, 1) \).

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!