Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình bậc ba. Đây là một dạng toán khá thú vị và đòi hỏi chúng ta phải vận dụng nhiều kiến thức đã học. Bài toán của chúng ta là:

Giải phương trình: \(x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0\)

Để giải phương trình bậc ba, thông thường chúng ta sẽ cố gắng tìm một nghiệm nguyên đơn giản để phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp này dựa trên Định lý nghiệm hữu tỉ (hoặc đơn giản hơn là thử các ước của hệ số tự do).

Bước 1: Tìm một nghiệm đơn giản của phương trình

Chúng ta sẽ thử các giá trị ước của hệ số tự do (số không chứa \(x\)) là 6. Các ước của 6 bao gồm: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Hãy thử với \(x = -1\):

Thay \(x = -1\) vào phương trình, ta có:

\((-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6\)

\( = -1 + 6(1) – 11 + 6\)

\( = -1 + 6 – 11 + 6\)

\( = 5 – 11 + 6\)

\( = -6 + 6\)

\( = 0\)

Vì khi thay \(x = -1\) vào phương trình, kết quả bằng 0, nên \(x = -1\) là một nghiệm của phương trình.
Theo Định lý Bezout, nếu \(x = -1\) là nghiệm thì đa thức \(x^3 + 6x^2 + 11x + 6\) sẽ chia hết cho \((x – (-1))\) hay \((x + 1)\).

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bây giờ, chúng ta sẽ chia đa thức \(x^3 + 6x^2 + 11x + 6\) cho \((x + 1)\). Chúng ta có thể thực hiện phép chia đa thức hoặc tách hạng tử để nhóm lại.

Thầy sẽ trình bày cách tách hạng tử để nhóm, vì cách này giúp chúng ta rèn luyện tư duy phân tích:

\(x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0\)

Chúng ta cần làm xuất hiện nhân tử \((x+1)\).

\(x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6 = 0\)
(Thầy đã tách \(6x^2\) thành \(x^2 + 5x^2\) và \(11x\) thành \(5x + 6x\))

Nhóm các hạng tử lại:

\((x^3 + x^2) + (5x^2 + 5x) + (6x + 6) = 0\)

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

\(x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1) = 0\)

Bây giờ, chúng ta thấy nhân tử chung là \((x + 1)\). Đặt \((x + 1)\) ra ngoài:

\((x + 1)(x^2 + 5x + 6) = 0\)

Bước 3: Giải phương trình tích

Một tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Vậy chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x + 1 = 0\)

Từ đây ta tìm được nghiệm đầu tiên: \(x = -1\)

Trường hợp 2: \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Phân tích thành nhân tử (tìm hai số có tích bằng 6 và tổng bằng 5, đó là 2 và 3):

\((x + 2)(x + 3) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp nhỏ hơn:

• \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)
• \(x + 3 = 0 \implies x = -3\)

Bước 4: Kết luận các nghiệm của phương trình

Vậy, phương trình đã cho \(x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0\) có ba nghiệm là:

\(x_1 = -1\)

\(x_2 = -2\)

\(x_3 = -3\)

Các em nhớ kiểm tra lại các bước và cách trình bày nhé. Việc trình bày rõ ràng, mạch lạc từng bước sẽ giúp các em không bị nhầm lẫn trong quá trình giải toán. Chúc các em học tốt!