Xin chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình bậc ba. Đây là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9.

Bài toán của chúng ta là:

Giải phương trình:

\(x^3 + 9x^2 + 26x + 24 = 0\)

Để giải phương trình bậc ba này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Tìm một nghiệm nguyên của phương trình (nếu có).

Theo định lí nghiệm hữu tỉ, nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do (số không chứa \(x\)).

Ở đây, hệ số tự do là \(24\).

Các ước của \(24\) là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\).

Chúng ta sẽ thử từng giá trị này vào phương trình:

• Thử với \(x = 1\): \(1^3 + 9(1)^2 + 26(1) + 24 = 1 + 9 + 26 + 24 = 60 \ne 0\).
• Thử với \(x = -1\): \((-1)^3 + 9(-1)^2 + 26(-1) + 24 = -1 + 9 – 26 + 24 = 8 \ne 0\).
• Thử với \(x = -2\): \((-2)^3 + 9(-2)^2 + 26(-2) + 24 = -8 + 9(4) – 52 + 24 = -8 + 36 – 52 + 24 = 60 – 60 = 0\).

À, chúng ta đã tìm thấy một nghiệm! Khi \(x = -2\), phương trình trở thành \(0 = 0\). Vậy, \(x = -2\) là một nghiệm của phương trình.

Điều này có nghĩa là đa thức \(x^3 + 9x^2 + 26x + 24\) chia hết cho \((x – (-2))\), tức là \((x + 2)\).

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách chia đa thức.

Vì \((x + 2)\) là một nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \(x^3 + 9x^2 + 26x + 24\) cho \((x + 2)\) để tìm nhân tử bậc hai còn lại.

Chúng ta có thể thực hiện phép chia đa thức như sau:

  (x^3 + 9x^2 + 26x + 24) : (x + 2)
  
  Đặt phép chia:
          x^2   + 7x   + 12
        _________________
  x + 2 | x^3 + 9x^2 + 26x + 24
          -(x^3 + 2x^2)
          _____________
                7x^2 + 26x
              -(7x^2 + 14x)
              _____________
                      12x + 24
                    -(12x + 24)
                    ___________
                            0

Kết quả của phép chia là \(x^2 + 7x + 12\).

Vậy, phương trình ban đầu có thể viết lại dưới dạng tích của các nhân tử là:

\((x + 2)(x^2 + 7x + 12) = 0\)

Bước 3: Giải phương trình bậc hai còn lại.

Để phương trình \((x + 2)(x^2 + 7x + 12) = 0\) có nghiệm, thì hoặc \((x + 2) = 0\) hoặc \((x^2 + 7x + 12) = 0\).

Chúng ta đã có nghiệm từ \((x + 2) = 0\) là \(x_1 = -2\).

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai: \(x^2 + 7x + 12 = 0\).

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm tổng quát (delta) hoặc phân tích thành nhân tử.

Sử dụng công thức nghiệm:

Xác định các hệ số: \(a = 1, b = 7, c = 12\).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = 7^2 – 4(1)(12) = 49 – 48 = 1\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2(1)}\)

\(x = \frac{-7 \pm 1}{2}\)

Từ đây, chúng ta có hai nghiệm:

\(x_2 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

\(x_3 = \frac{-7 – 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)

Bước 4: Kết luận các nghiệm của phương trình.

Vậy, phương trình đã cho có ba nghiệm là:

\(x_1 = -2\)

\(x_2 = -3\)

\(x_3 = -4\)

Tập nghiệm của phương trình là: \(\{-4; -3; -2\}\).

Các em nhớ luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững phương pháp này nhé!