Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình bậc ba. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài toán: Giải phương trình bậc ba sau:

\( x^3 – x^2 + x – 1 = 0 \)

Để giải phương trình bậc ba này, chúng ta sẽ tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử. Chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau.

Bước 1: Nhóm các hạng tử

Chúng ta có thể nhóm hai hạng tử đầu tiên và hai hạng tử cuối cùng:

\( (x^3 – x^2) + (x – 1) = 0 \)

Bước 2: Đặt nhân tử chung cho từng nhóm

Trong nhóm thứ nhất, chúng ta có thể đặt \( x^2 \) làm nhân tử chung:

\( x^2(x – 1) \)

Nhóm thứ hai, \( (x – 1) \), đã có sẵn nhân tử \( (x – 1) \).

Vậy, phương trình trở thành:

\( x^2(x – 1) + 1(x – 1) = 0 \)

Bước 3: Đặt nhân tử chung mới

Bây giờ, chúng ta thấy rằng \( (x – 1) \) là nhân tử chung của cả hai hạng tử. Chúng ta đặt \( (x – 1) \) ra ngoài:

\( (x – 1)(x^2 + 1) = 0 \)

Bước 4: Giải phương trình tích

Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Do đó, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

\( x – 1 = 0 \)

Giải phương trình này, ta được:

\( x = 1 \)

Trường hợp 2:

\( x^2 + 1 = 0 \)

Để giải phương trình này, chúng ta chuyển 1 sang vế phải:

\( x^2 = -1 \)

Trong tập số thực, không có số thực nào bình phương lên bằng một số âm. Do đó, phương trình này vô nghiệm trong tập số thực.

Kết luận:

Vậy, phương trình bậc ba \( x^3 – x^2 + x – 1 = 0 \) có một nghiệm duy nhất trong tập số thực là \( x = 1 \).

Các em đã hiểu cách giải bài toán này chưa nào? Chúng ta đã sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó đưa về việc giải các phương trình bậc nhất và bậc hai đơn giản hơn.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!